「ユークリッド原論」第２巻に収蔵されているグノーモンについて，グノーモン関連の定理は「幾何学的な代数論」であるととか，いろいろな説（謎）がある．

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【３】グノモン分解による整除性の証明

　項比は

　　ｇk+1／ｇk＝（（ｋ＋１）^2）！／（ｋ^2）！・（ｋ＋１）^2・・・（２ｋ）^2・（２ｋ＋１）

　　（（ｋ＋１）^2）！／（ｋ^2）！＝（ｋ^2＋１）（ｋ^2＋２）・・・（ｋ^2＋２ｋ＋１）

　したがって，連続する２ｋ＋１個の自然数の積

　　（ｋ^2＋１）（ｋ^2＋２）・・・（ｋ^2＋２ｋ＋１）

には（ｋ＋１）の倍数が少なくとも２個，・・・，（２ｋ）の倍数が少なくとも２個，（２ｋ＋１）の倍数が少なくとも１個あるかという問題になる．

　連続するｋ個の自然数の積はｋ！で割り切れることを使って証明を試みたが，うまくいかなかった．無駄があるためである．しかし，グノモンを使うとうまく証明できるのである．

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　（ｋ＋１）！をグノモン分解するほうがわかりやすい．すなわち，

　　（ｋ＋１）^2＝１＋３＋・・・＋（２ｋ−１）＋（２ｋ＋１）

として，ｋ＋１番目のグノモンが，

　　（ｋ^2＋１）（ｋ^2＋２）・・・（ｋ^2＋２ｋ＋１）

というわけである．

　このグノモンにはｋで割ると１余る数（ｎｋ＋１），ｋで割ると２余る数（ｎｋ＋２），・・・が順に並ぶが，（ｋ＋１）の倍数，（ｋ＋２）の倍数，・・・が順に並ぶわけではない．そこで，次のように考えることにする．

　ｎ（ｋ＋１）≦ｋ^2＋１となる最大の数ｎは，ｎ＝ｋ−１であるから，連続する２ｋ＋３個の自然数よりなる区間［ｋ^2−１，ｋ^2＋２ｋ＋１］には，（ｋ＋１）の倍数が少なくとも２個あることがわかる．（ｋ＋１）の倍数はｋ＋１個ごとに１個存在するからである．区間［ｋ^2−１，ｋ^2］には存在しないから，区間［ｋ^2＋１，ｋ^2＋２ｋ＋１］には，（ｋ＋１）の倍数が少なくとも２個あることになる．

　ｎ（ｋ＋２）≦ｋ^2＋１となる最大の数ｎは，ｎ＝ｋ−２であるから，連続する２ｋ＋５個の自然数よりなる区間［ｋ^2−４，ｋ^2＋２ｋ＋１］には，（ｋ＋２）の倍数が少なくとも２個あることがわかる．もっと狭めて区間［ｋ^2＋１，ｋ^2＋２ｋ＋１］には（ｋ＋２）の倍数が少なくとも２個あることになる．

　以下同様であるが，（２ｋ＋１）の倍数は２ｋ＋１個ごとに１個存在するから，連続する２ｋ＋１個の自然数よりなる区間［ｋ^2＋１，ｋ^2＋２ｋ＋１］には少なくとも１個存在する．

　これで

　　（ｋ^2＋１）（ｋ^2＋２）・・・（ｋ^2＋２ｋ＋１）

には（ｋ＋１）の倍数が少なくとも２個，・・・，（２ｋ）の倍数が少なくとも２個，（２ｋ＋１）の倍数が少なくとも１個あることが証明できたことになる．

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【４】雑感

　ユークリッド原論第二巻は無用の長物としてしばしばこき下ろされるが，後世に応用される有用な定理を含んでいたわけだ．歴史というのは難しいものだ．

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