１９６５年，カッツは形状の異なる２つの太鼓を音で区別できるかどうかを問うた．それは実質的に面積や周長が等しい等スペクトル領域がありうるかという問題であった．

　１９９２年にゴードン，ウェブ，ウォルパートは砂田利一の定理に基づいて，等スペクトル領域の具体例を示した．それは７個の直角二等辺三角形を貼り合わせたものであった．このうち，５個は共通していて，２個だけが異なっている．

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ビューザーによる，等スペクトル領域のやさしい存在証明を示したい．

　７個の正三角形を貼り合わせたプロペラ型の領域を考える．左巻きプロペラ，右巻きプロペラ領域を構成する正三角形をすべて同じ形の不等辺三角形、たとえば、（６０°，４５°，７５°）に置き換えるのであるが，異なる形ができる．

　左巻きプロペラからは，７個ある三角形に制限したラプラス作用素の固有関数をａ，ｂ，ｃ，ｄ，−Ａ，−Ｂ，−Ｃとする．ディリクレの境界条件より固有関数φは消失しなければならない．

　右巻きプロペラの真ん中にある三角形に関数Ａ＋Ｂ＋Ｃを与えると，境界をまたぐたびに−ｄ−Ｂ−ｂ→Ｃ＋ａ＋ｂなど，次々に接続する．

　ここで考えたことは，左巻きプロペラのλ固有空間から右巻きプロペラのλ固有空間への線形写像を定義したことに他ならない．したがって，２つのプロペラはディリクレの境界条件の下で等スペクトル領域であるが，実はノイマンの境界条件の下でも等スペクトル領域である．これにより，異なる形の等スペクトル領域を構成することができるのである．

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［Ｑ］７個の直角二等辺三角形を貼り合わせた形は何種類あるか？　ただし，長さ１の辺同士，長さ√２の辺同士を貼り合わせるものとする．

［Ｑ］７個の正三角形を貼り合わせた形（heptiamond）は何種類あるか？

　後者の答えは２４種類である．そのうち，ひとつだけがタイルにならない．

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正三角形を６個集めて作られる図形（ヘキサモンド）は全部で１２種類ある．

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