［１］単位区間［０，１］を３等分して，中央の区間［１／３，２／３］を取り除く．

［２］残った２つの区間をそれぞれ３等分して中央の区間［１／９，２／９］および［７／９，８／９］を取り除く．

［３］３等分して中央の区間を取り除く操作を無限に繰り返す．

　取り除かれる区間の長さの合計を求めてみよう．

　　１／３＋２・１／９＋４・１／２７＋１６・１／８１＋・・・

は，公比２／３のﾐｭ言及数であるから

　　１／３＋２・１／９＋４・１／２７＋１６・１／８１＋・・・

→１／３／（１−２／３）＝１

　実際には無限に多くの点が残っているのに，取り除かれる区間の長さに合計は１となって，何の残らないことになる．

　このように，カントル集合は特異な性質をもつ集合の１例である．

［０，１］を３等分して中央の区間を取り除くという操作を繰り返す．方眼紙を１枚もってきてこの図形にかぶせ，この図形を覆っているマス目の個数を数える．つぎにマス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返す．もとの図形が線であればマス目の数は２＝２^1倍に，面であればマス目の数は４＝２^2倍に増える．

　マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は２倍になるから，

　　３^d＝２→ｄ＝ｌｏｇ２／ｌｏｇ３＝０．６３０９・・・

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　カントル集合を生成する手順を平面上にに一般化してみたい．

［１］正方形を９個の小立方体に分割して，中央にある１個の小正方形を取り除く．

［２］残った８個の正方形をそれぞれ９等分して中央の１個の小正方形を取り除く．

［３］この操作を無限に繰り返すと，シェルピンスキーの絨毯が現れる．

　ます単純な正方形を描き，次にそれを同じ大きさの９つの正方形に分割して，中央の１個を取り除く．これを無限回繰り返す．

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　マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は８倍になるから，そのフラクタル次元は

　　３^d＝８→ｄ＝３ｌｏｇ２／ｌｏｇ３

となる．

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［１］立方体を２７個の小立方体に分割して，中央にある７個の小立方体を取り除く．

［２］残った２０個の立方体をそれぞれ２７等分して中央の７個の小立方体を取り除く．

［３］この操作を無限に繰り返すと，メンガーのスポンジが現れる．

　その３次元版（メンガーのスポンジ）では，ます単純な立方体を描き，次に同じ大きさの２７個の正方形に分割して，体心と面心に位置する７個を取り除く．これを無限回繰り返す．

　マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は２０倍になるから，そのフラクタル次元は

　　３^d＝２０→ｄ＝ｌｏｇ２０／ｌｏｇ３

となる．

　細分が進むにつれて，メンガーのスポンジの体積はどんどん小さくなるが，表面積は際限なく増え続ける．

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