【１】周期３はカオスを意味する（リー・ヨークの定理）

ロジスティック写像において，ｋの値の所々で単純な周期変動が現れ，たとえば，ｋ＝１＋２√２のとき周期が３，すなわち３つの極限値の間を振動します．リー（李天岩）とヨークは周期長３が観測されることはすべての可能な周期が現れることを示しました．周期３は非常に複雑な挙動の目印なのです。

Li, Yorke: Period Three Implies Chaos, American Mathematical Monthly 82, 985-992, 1975

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【２】シャルコフスキーの定理

　リー・ヨークの定理（１９７５年）は，シャルコフスキーの定理（周期解共存定理，１９６４年）に含まれる．

『すべての自然数を

　　３＞５＞７＞９＞・・・（奇数の無限大）

　　＞２・３＞２・５＞２・７＞・・・（２×奇数の無限大）

　　＞２^2・３＞２^2・５＞２^2・７＞・・・（２^2×奇数の無限大）

　　＞２^m・３＞２^m・５＞２^m・７＞・・・（２^m×奇数の無限大）

　　＞２^∞・３＞２^∞・５＞２^∞・７＞・・・（２^∞×奇数の無限大）

　　＞２^∞＞・・・＞２^m＞・・・＞２^3＞２^2＞２＞１

の順序に並べる．周期長ｎをもてばｎより右にあるすべての周期長ｋをもつ．』

　シャルコフスキーの定理は，リー・ヨークの定理が発表された以後広く知られるようになったのであるが，確かに３より右に並んでいる数はすべての自然数を網羅しているから，周期３のサイクルをもてばすべての周期をもつことになる．この定理の証明は不動点定理の応用による．

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