約数の和でなく約数の個数の立方和を計算している

　以下，左辺と右辺から，いくつかの同じ数字を間引いたり，つけ加えても等式が成り立つ例を掲げる．たとえば

１^3＋２^3＋２^3＋３^3＋４^3＋６^3＝（１＋２＋２＋３＋４＋６）^2

＝３２４

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　曲芸的にみえるかもしれないが，実は次の見事な等式が成り立つのである．

　　Στ^3（ｄ）＝（Στ（ｄ））^2

　　τ（ｄ）はｄの約数の個数を表すものとする．

ｄ，ｄの約数，τ（ｄ）

１，（１｝，１

３，｛１，３｝，２

５，｛１，５｝，２

９，｛１，３，９｝，３

１５，｛１，３，５，１５｝，４

４５，｛１，３，５，９，１５，４５｝，６

であるから，ｄ＝４５の約数の場合，

左辺＝τ^3（１）＋τ^3（３）＋τ^3（５）＋τ^3（９）＋τ^3（１５）＋τ^3（４５）

＝１^3＋２^3＋２^3＋３^3＋４^3＋６^3＝３２４

右辺＝｛τ（１）＋τ（３）＋τ（５）＋τ（９）＋τ（１５）＋τ（４５）｝^2

＝（１＋２＋２＋３＋４＋６）^2＝３２４

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　ｄ＝２^nの場合，

　　Στ^3（ｄ）＝（Στ（ｄ））^2

は

ｄ，ｄの約数，τ（ｄ）

１，（１｝，１

２，｛１，２｝，２

４，｛１，２，４｝，３

８，｛１，２，４，８｝，４

１６，｛１，２，４，８，１６｝，５

３２，｛１，２，４，８，１６，３２｝，６

１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）^2

になるので，ある意味，一般化になっているのである．

　［参］チャンバーランド「ひとけたの数に魅せられて」岩波書店

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n=p^aq^b (p＜q)とおく。

[1]a=1,b=0

1,{1},1

p,{1,p},2

1^3+2^3=(1+2)^2 (OK)

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[2]b=0

1,{1},1

p,{1,p},2

p^2,{1,p,p^2},3

・・・・・・・・・・・・・・・

p^a,{1,p,・・・,p^a},a+1

1^3+2^3+・・・+(a+1)^3=(1+2+・・・+(a+1))^2 (OK)

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[3]

1,{1},1

p,{1,p},2

p^2,{1,p,p^2},3

・・・・・・・・・・・・・・・

p^a,{1,p,・・・,p^a},a+1

q,{1,q},2

pq,{1,p,q,pq},4

p^2q,{1,p,p^2,q,pq,p^2q},6

・・・・・・・・・・・・・・・

p^aq,{1,p,・・・,p^a,q,pq,・・・,p^aq},2(a+1)

p^aq^2,{1,p,・・・,p^a,q,pq,・・・,p^aq,q^2,pq^2,・・・,p^aq^2},3(a+1)

・・・・・・・・・・・・・・・

p^aq^b,{・・・},(b+1)(a+1)

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Σ(p^iq^jの約数の個数)=(1+2+・・・+(a+1))・{1+2+・・・+(b+1)}3=(a+1)(a+2)/2・(b+1)(b+2)/2

Σ(p^iq^jの約数の個数の３乗)=(1^3+2^3+・・・+(a+1)^3)・{1^3+2^3+・・・+(b+1)^3}={(a+1)(a+2)/2}^2・{(b+1)(b+2)/2}^2

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N=45=3^2・5,a=2,b=1

左辺=6^2・3^2＝324 (OK)

右辺={6・3}^2=324

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N=60=2^2・3・5,a=2,b=1,c=1

1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60

60→12,30→8,20→6,15→4,12→6,10→4,

6→4,5→2,4→3,3→2,2→2,1→1

左辺=1^3+2^3+2^3+3^3+2^3+4^3+4^3+6^3+4^3+6^3+8^3+12^3

右辺={6・3・3}^2=2916

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