複素数ではかけ算は回転に相当し、平面上の回転をｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθとすればＺ’＝ｅｘｐ（ｉθ）Ｚと記述できます

ｉをかけるという操作は複素数平面上では90ど回転を表すというわけです。

ハミルトンは３次元空間での回転を記述する試みの中から、複素数の類似である３個の実数の組からなる新しい数（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ）を導入して、（ａ＋ｂｉ＋ｃｊ）（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ）のような積を同じ空間内のベクトル（α＋βｉ＋γｊ）として表そうとしました。

しかし、空間の回転をとらえるというはじめのアイデアは失敗に終わり、結局、４次元へ跳躍することによって４個の実数の組よるなる四元数（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）を発明しました（１８４３年）。

　四元数は複素数に似ていますが、ただ１つではなく３つの虚数をもつ数体系で、ｉ2 ＝−１，ｊ2 ＝−１，ｋ2 ＝−１，ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊなる性質をもち、（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）＝ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 ＋ｗ2 となります。四元数ではかけ算の交換法則は成り立ちません（ａｂ≠ｂａ）。四則演算の法則に変更を加えない限り、３次元空間への拡張はできなかったのです。

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オイラーの公式exp(iθ)=cosθ+isinθ

を四元数の場合に一般化することを考えます。

exp(iθ+jφ+kψ)=？

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Φ=(θ^2+φ^2+ψ^2)^1/2とおくと

exp(iθ+jφ+kψ)=cosΦ+(iθ+jφ+kψ)/ΦsinΦ

n=1/Φ・(θ,φ,ψ)としたとき、2Φ回転を表していることが分かります。

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