四元数の成分の後ろ３つは３次元のベクトル成分と考えることができて、3次元空間の幾何学を記述することができる

　　ω＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

は，

　　ω^2＝（−１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

　　ω^3＝−１

　　ω^4＝−（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

　　ω^5＝（１−ｉ−ｊ−ｋ）／２

　　ω^6＝１

より１の原始６乗根であり，ωは４次元空間内の６０°回転に対応していると考えることができる．

　また，四元数ω＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２は単位四元数であり，軸ｎ周りのθ回転は単位四元数

　　ｑ＝（ｃｏｓθ／２，ｓｉｎθ／２ｎ）

で表せるから

　　θ／２＝π／３，ｎ＝（１／√３，１／√３，１／√３）

すなわち，（１，１，１）方向を軸とする１２０°回転に対応している．

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【１】正四面体の対称性と正２４胞体

　以上のことより，立方体の向かい合う面の中心を通る直線を，ｉ軸・ｊ軸・ｋ軸とみなすと，正四面体の１２の対称性を四元数の点の集合として表現することができる．

［１］回転軸

　　λｉ＋μｊ＋νｋ

はＯの回りに角θだけ回転する場合，空間の回転は四元数

　　ｃｏｓ（θ／２）＋（λｉ＋μｊ＋νｋ）ｓｉｎ（θ／２）

によって表される．

［２］１／２回転（θ＝πならばθ／２＝π／２）なので，

　　λｉ＋μｊ＋νｋ

したがって，ｉ軸・ｊ軸・ｋ軸回りの回転はそれぞれｉ，ｊ，ｋ自身によって表現される．

［３］同様に，

　　ω^2＝（−１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

はθ／２＝２π／３，ｎ＝（１／√３，１／√３，１／√３）より（１，１，１）方向を軸とする２４０°回転，

　　ω^4＝−（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

はθ／２＝−π／３，ｎ＝（１／√３，１／√３，１／√３）より（１，１，１）方向を軸とする−１２０°回転，

　　ω^5＝（１−ｉ−ｊ−ｋ）／２

はθ／２＝−π／３，ｎ＝（１／√３，１／√３，１／√３）より（１，１，１）方向を軸とする−１２０°回転．

　　ｑ＝±１

はθ／２＝±π，ｎ＝（０，０，０）より無回転（恒等写像）であるが，

　　ｑ＝±ｉ

はθ／２＝±π／２，ｎ＝（１，０，０）より（１，０，０）方向＝ｘ軸を軸とする±９０°回転に対応している．

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