０から９までの平方数

　　０，１，４，９，１６，２５，３６，４９，６４，８１

の２つの平方数の和として書くことができる数について，簡単な数値実験をしみよう．

　　　　０　　１　　４　　９　１６　２５　３６　４９　６４　８１

　０　　０　　１　　４　　９　１６　２５　３６　４９　６４　８１

　１　　１　　２　　５　１０　１７　２６　３７　５０　６５　８２

　４　　４　　５　　８　１３　２０　２９　４０　５３　６８　８５

　９　　９　１０　１３　１８　２５　３４　４５　５８　７３　９０

１６　１６　１７　２０　２５　３２　４１　５２　６５　８０　９７

２５　２５　２６　２９　３４　４１　５０　６１　７４　８９

３６　３６　３７　４０　４５　５２　６１　７２　８５

４９　４９　５０　５３　５８　６５　７４　８５　９８

６４　６４　６５　６８　７３　８０　８９

８１　８１　８２　８５　９０　９７

　一見してパターンを見出すことは難しいが，作れない数としては

　　３，６，７，１１，・・・

がある．

（素数に限らず）多くの数は２つの平方数の和としてあらわすことはできない。

　フェルマーはこの表に現れる数を素因数分解して，

　　３，７，１１，１９，２３，３１，４３，・・・

などの素因数がでてこないことを発見した．これらの素数はすべて４の倍数より１小さい素数である．

［１］２つの平方数の和となる数は，４ｋ−１型素因数をすべて偶数乗としてもっている数だけである．

［２］４ｋ＋１型素数はすべて２つの平方数の和となる．

［３］４ｋ＋１型の数が素数の場合，２つの平方数に分ける方法は１通りしかない．

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