【１】２平方和定理（フェルマー・オイラーの定理）

（ａ^2 ＋ｂ^2 ）（ｃ^2 ＋ｄ^2 ）＝ｐ^2 ＋ｑ^2

ｐ＝ａｃ−ｂｄ，ｑ＝ａｄ＋ｂｃ

　この公式を繰り返して使うと，２次の項をひとまとめにして２つの平方の和にすることができる．

（ａ^2 ＋ｂ^2 ）（ｃ^2 ＋ｄ^2 ）（ｅ^2 ＋ｆ^2 ）＝（ｐ^2 ＋ｑ^2 ）（ｅ^2 ＋ｆ^2 ）＝ｒ^2 ＋ｓ^2

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．

　このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2 ＋２^2 ，１３＝２^2 ＋３^2 ，１７＝１^2 ＋４^2 ，２９＝２^2 ＋５^2

しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．

　この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．

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【２】３平方和定理

　４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない．」

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【３】４平方和定理（オイラー・ラグランジュの定理）

　素数に限らず，多くの数は２つの平方数の和として表すことができない．たとえば，

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

のように，７を平方数の和として表すには４つの平方数が必要になる．それではすべての正の整数は４つの平方数の和として表すことができるだろうか．答えはyesである．

　「任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せる．」

　オイラーはこの定理の直前まで行きながら，最後の段階で成功しませんでした．ラグランジュはオイラーの研究成果からアイデアを得て，１７７２年，最後の段階を突破しました．その証明中で用いられる基本公式が

（ａ^2 ＋ｂ^2 ＋ｃ^2 ＋ｄ^2 ）（ｐ^2 ＋ｑ^2 ＋ｒ^2 ＋ｓ^2 ）＝ｘ^2 ＋ｙ^2 ＋ｚ^2 ＋ｗ^2

ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

で，１７４８年にオイラーによって証明されています．オイラーの４平方恒等式を使うと，ラグランジュの４平方定理が証明できるというわけです．

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