八元数：

　　ａ0＋ａ1ｅ1＋ａ2ｅ2＋ａ3ｅ3＋ａ4ｅ4＋ａ5ｅ5＋ａ6ｅ6＋ａ7ｅ7

　　ｅi^2＝−１

について補足しておきます．

　　［参］一松信「数の世界」丸善

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［１］ｅ1，ｅ2，ｅ4は四元数のｉ，ｊ，ｋに対応し，

　　ａ0＋ａ1ｅ1＋ａ2ｅ2＋ａ4ｅ4

が四元数と同じ積を与えると定義する．したがって，この範囲では交換法則は成立しないが，結合法則は成立する．

［２］第４の要素ｅ3を導入し，

　　ｅ1ｅ3＝ｅ7，ｅ2ｅ3＝ｅ5，ｅ3ｅ4＝ｅ6

　　ｅ3ｅ1＝−ｅ7，ｅ3ｅ2＝−ｅ5，ｅ4ｅ3＝−ｅ6

と定義する．

［３］これにより，ｅiｅjｅkの積により結合法則（ｅiｅj）ｅk＝ｅi（ｅjｅk）が成立するのは

　　＜ｉ，ｊ，ｋ＞＝＜ｌ，ｌ＋１，ｌ＋３＞　　（ｍｏｄ７）

　　ｅ8＝ｅ1，ｅ9＝ｅ2，ｅ10＝ｅ3，・・・と解釈する

とそれを入れ替えた７・６＝４２組に限られる．

［４］それ以外の２１０−４２＝１６８組では反結合法則（ｅiｅj）ｅk＝−ｅi（ｅjｅk）が成立する．

［５］すなわち，結合法則は一般的には成り立たないが，限られた範囲では成立するのである．

　　ξ，ξ^-1の間の積は結合的で，ξ^nは一意に定まる．

　　ξ^2η＝ξ（ξη），ξη^2＝（ξη）η

［６］モウファンの法則（準結合法則）が成り立つ．

　　（ξη）（ιξ）＝（ξ（ηι））ξ＝ξ（（ηι）ξ）

　　（ξη）ξ＝ξ（ηξ）

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　Ｘ＝Ｒ，Ｃ，Ｈ，Ｏとして，

　　Ｘ＋ｉＸ　　　（ディクソンの倍加代数）

を構成して，フルヴィッツは十六元数は存在しないことを示した．

　このことを逆に見ると

　　Ｒ→Ｃ：順序関係を捨てる

　　Ｃ→Ｈ：乗法の交換法則を捨てる

　　Ｈ→Ｏ：乗法の結合法則を捨てる

という犠牲が避けられないことが理解される．

　もう捨て去るものは何もなく，四則演算が可能な数体系は八元数で終点なのである．

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