フェルマーは素数を３つのタイプに分けて考えた．

［１］２（偶数となる優いつの素数）

［２］４ｋ＋１型素数：５，１３，１７，・・・

［３］４ｋ＋３型素数：３，７，１１，・・・

　そして，［１］［２］は平方数の和で表せる，［３］は平方数の和で表せないことを示した．

　これは素数の場合であるが，一般の整数の場合はそれを素因数分解したとき，４ｋ＋３型素因数のすべてが偶数乗の場合に限り，平方数の和で表せる．

　これと類似の方法を使って，１７７０年ラグランジュは，任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せることを証明した．

　ところで，４ｋ＋１型整数

　　１，５，９，１３，，１７，２１，２５，２９，・・・

は積に関して閉じている．

　　（４ｍ＋１）（４ｎ＋１）＝４（４ｍｎ＋ｍ＋ｎ）＋１＝４ｋ＋１

　普通の整数の世界で素数を考えたのと同様に，４ｋ＋１の数の世界で素数（概素数）を考えてみよう．すなわち，それより小さい数の積としては表せない数のことである．

　９は１，５の積では表せないから概素数である．６９３は

　　６９３＝９・７７＝２１・３３

と２つの異なる方法で分解できてしまう．

　　９，７７，２１，３３はいずれも４ｋ＋１の数の世界では概素数であるが，この世界では素因数分解の一意性は成り立たないのである．

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