【１】２元４次形式（ケイリー）

　ケイリーは２元４次形式

　　ｆ＝ａｘ^4＋４ｂｘ^3ｙ＋６ｃｘ^2ｙ^2＋４ｄｘｙ^3＋ｅｙ^4

のユニモジュラー変換による不変式

　　Ｄ＝ａｅ−４ｂｄ＋３ｃ^2

を示し，１８５６年には判別式ｄと行列式

　　　　｜ａ　ｂ　ｃ｜

　　ｑ＝｜ｂ　ｃ　ｄ｜

　　　　｜ｃ　ｄ　ｅ｜

とがユニモジュラー変換による不変式の完全系であることを示した．

　また，

　　ｆ＝ａｘ^4＋４ｂｘ^3ｙ＋６ｃｘ^2ｙ^2＋４ｄｘｙ^3＋ｅｙ^4　　　（係数についての次数１）

ｈ＝Ｈ／１２^2　　　（Ｈはｆのヘシアン，次数２）

ｊ＝Ｊ／８　　　　　（Ｊは（ｆ，ｈ）のヤコビアン，次数３）

　　Ｄ＝ａｅ−４ｂｄ＋３ｃ^2　　　（判別式，次数２）

　　　　｜ａ　ｂ　ｃ｜

　　ｑ＝｜ｂ　ｃ　ｄ｜　　　（次数３）

　　　　｜ｃ　ｄ　ｅ｜

　これらの間の関係は，６次の多項式

　　ｊ^2＝−ｆ^3ｑ＋ｆ^2ｈＤ−４ｈ^3

で与えられる．

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