オイラー・マクローリンの和公式を用いると

　　Σklogk〜(n^2/2+n/2+1/12)･logn-n^2/4+C

　　C=1/4-1/720+1/5040-1/10080+･･･

となったが，定数Ｃは

　　Ｃ＝１／１２−ζ’（−１）

で与えられることもわかった．ここで，ｅｘｐ（Ｃ）はグレイシャー（Glaisher）の定数と呼ばれるものである．

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　シリーズ「素数がもたらしたもの」では，オイラー・マクローリンの和公式を用いて，Σ(1,∞)k^mlogkから発散するｎのべき乗項を引いた残りを定数と考えて計算した．

　偶数次元では

　　−ζ’（−ｓ）

奇数次元では

　　定数−ζ’（−ｓ）

の形となった．

　この定数について，大阪の花本先生より興味深い結果を教えていただい．

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【１】グレイシャー（Glaisher）の定数の一般化について

　Σ(1,∞)k^mlogkから発散するｎのべき乗項を引いた残りを定数と考えて，一般化Glaysher数をAm，ベルヌーイ数をBn，調和関数Hn=1+1/2+1/3+・・・+1/nとすれば，

　　Am=B(m+1)Hm/(m+1)-ζ’(-m)

が成り立つというものです．

　たとえば，

［１］ｍ＝１のとき

　　Σklogk〜(n^2/2+n/2+1/12)･logn-n^2/4+C

　　C=1/4-1/720+1/5040-1/10080+･･･

となりましたが，

　　Ｂ2＝１／６，Ｈ1＝１，ｍ＋１＝２

ですから，

　　Ｃ＝１／１２−ζ’（−１）＝Ａ1

［２］ｍ＝３のとき

　　Σk^3logk〜(n^4/4+n^3/2+n^2/4-1/120)･logn-n^4/16+n^2/12+C

　　C=1/16-1/12+1/120-1/5040+1/33600-･･･

となりましたが，

　　Ｂ4＝−１／３０，Ｈ3＝１＋１／２＋１／３＝１１／６，ｍ＋１＝４

定数Ｃは

　　Ｃ＝−１１／７２０−ζ’（−３）＝Ａ3

［３］ｍ＝２ｎのとき

　ベルヌーイ数の奇数項は第一項以外は０ですから，

　　Ａm＝−ζ’（−ｍ）

で与えられるというものです．

（文献）Polygamma Functions of negative order

Victor S.Adamchic 1998

JOURNAL OF COMPUTATIONAL AND APPLIED MATHEMATICS

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