オイラーの仕事のひとつに素数生成式があります．素数をかなりの確率で生成する公式，その値の多くが素数となる式です．たとえば，オイラーの２次式：

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋４１

はｘ＝０〜３９に対して素数を与えます．オイラーの公式はｘ＝４０で１６８１＝４１^2となって破綻しますが，以下，ｘ＝４２，４３，４５，４６，４７，４８，５０，５１，５２，５３，・・・，１０００万以下のｘに対して４７．５％の確率で素数を生成します．

　１変数の２次多項式ではｘ^2＋ｘ＋１７や２ｘ^2＋２９なども高い確率で素数を生成します．他にも素数をよく生成する式が昔から知られていて

　　ルビーの２次式：ｆ（ｘ）＝｜３６ｘ^2−８１０ｘ＋２７５３｜　　（ｘ＝０〜４４）

　　フロベニウスの２次式：ｆ（ｘ）＝２ｘ^2＋２ｘ＋１９

　　４ｘ^2＋１７０ｘ＋１８４７

　　４ｘ^2＋４ｘ＋５９

などがあげられます．

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　オイラーの公式ｘ^2＋ｘ＋４１のｘをｘ−１に変換すればｘ^2−ｘ＋４１，ｘ−４０に変換すればｘ^2−７９ｘ＋１６０１が与えられます．ｘ^2−ｘ＋ｃ型では，逆に，ほとんど素数にならない式も見つけられています．

　十分大きい値ｘに対して，素数密度は０に近づきますから，ｃの大きさを制限しなければこの問題は無意味になります．そこで，１万以下のｘに限定しますが，ｘ^2−ｘ＋ｃ型ではｃ＝２１９５２５のとき，すなわち，

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋２１９５２５

の素数密度は２．３３％だそうです．

　素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

より，１万以下のｘに対しての素数密度はおよそ

　　１／ｌｏｇ１０^4＝１０．８６％

ですから，ｘ^2−ｘ＋２１９５２５が素数になりにくいことがおわかりいただけるでしょう．

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【補】素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

はｘを超えない素数の個数π（ｘ）を与える近似的な公式であって，ｘに近い２つの連続した素数間の平均距離はおよそｌｏｇｘ，あるいは，ランダムにとった整数ｘが素数である確率がおよそ１／ｌｏｇｘだといってもよいでしょう．

また，ｎ番目の素数ｐnについての漸近評価

　　ｐn〜ｎｌｏｇｎ

とも等価です．これをもっと精密に評価すると

　　ｐn＝ｎ（ｌｏｇｎ＋ｌｏｇｌｏｇｎ−１）＋ｏ（ｎｌｏｇｌｏｇｎ／ｌｏｇｎ）

になります．

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