オイラー自身、素数をかなりの確率で生成する公式ｎ2 ＋ｎ＋４１を発見しています。この公式はｎ＝０のとき素数４１、ｎ＝１で素数４３、ｎ＝２で素数４７を与えます。このようにしてｎが０から３９までのどのｎをとってもオイラーの公式はすべて素数を与えます。オイラーの公式はｎ＝４０で１６８１＝４１2 となって破綻しますが、１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します。この事実を確認するのは簡単ですが、しかしオイラーはどうやってこんな事実を見つけだしたのでしょうか。また、そうなる真の理由は何でしょうか。

ウラムは自然数を四角いらせん状に配列させるとｎ2 ＋ｎ＋４１型の素数の多くはその対角線上に分布していることを確認しました。ランダムに分布しているように見える素数が四角い渦巻きの対角線上に規則的に分布していたことは驚くべきことです。ウラムは、また、１０００万以下のｎに対して４ｎ2 ＋１７０ｎ＋１８４７が４６．６％、４ｎ2 ＋４ｎ＋５９が４３．７％の確率で素数を生み出すことを突き止めています。

　オイラーの公式ｎ2 ＋ｎ＋４１のｎをｎ−１に変換すればｎ2 −ｎ＋４１、ｎ−４０に変換すればｎ2 −７９ｎ＋１６０１が与えられます。１変数の２次多項式ではｎ2 ＋ｎ＋１７や２ｎ2 ＋２９なども高い確率で素数を生成します。他にも素数をよく生成する式が昔から知られていて

　　ルビーの２次式：ｆ（ｘ）＝｜３６ｘ^2−８１０ｘ＋２７５３｜　　（ｘ＝０〜４４）

　　フロベニウスの２次式：ｆ（ｘ）＝２ｘ^2＋２ｘ＋１９

などがあげられます．

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