【１】オイラーの定数

　　Ｈn ＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

と定義します．（ｎ＞１ならばＨn は整数にはなりません．）

　ｎを無限大にしたとき，調和級数

　　Ｈ∞＝　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・

は発散しますが，そのｎ次部分和Ｈnは離散的な世界で連続関数ｌｎｎに対応するものであり，自然対数は双曲線ｙ＝１／ｘの下の面積として定義できます．

　したがって，双曲線ｙ＝１／ｘを上と下から棒グラフではさんで近似することにより，ｌｏｇｎとｌｏｇｎ＋１の間に押し込まれまれることがわかります（∵∫１／ｘｄｘ＝ｌｏｇｘ）．

　したがって，Ｈn とｌｏｇｎの比｛Ｈn ／ｌｏｇｎ｝は

　　Ｈn ／ｌｏｇｎ→１　　　（ｎ→∞）

です．

　一方，Ｈn とｌｏｇｎの差｛Ｈn −ｌｏｇｎ｝は確定した極限値γに収束します．

　Ｈn −ｌｏｇｎ→γ　　　（ｎ→∞：Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋Ｏ（１／ｎ））

　　　　　　　　　　　　　（ｎ→∞：Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋ｏ（１））

　この極限値はオイラーの定数として知られており，約０．５７７２２になります．オイラーの定数の比較的よい近似値は４／７で，さらによい近似値は４１／７１で与えられます．

　Ｈn は上限と下限の間の約５８％のところにあることがわかりましたが，今日に至るまで，オイラーの定数の値は有理数とも無理数ともわかっていません．おそらく，超越数なのでしょう．

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【２】素数が無限に存在すること（オイラーによる証明）

　素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明していますが，その証明はだれしもが容易に理解できるものです．同様に，調和級数Σ（１／ｎ）が無限大に発散すること

　　１／１＋１／２＋１／３＋・・・＝∞

も容易に示すことができます．

　それでは，素数の逆数の和

　　Σ（１／ｐ）＝１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・

は有限でしょうか？

（証明）

　調和級数１／１＋１／２＋１／３＋・・・は，オイラー積表示すると

　　Π（１−１／ｐ）^-1

と書けますから，

　　Π（１−１／ｐ）^-1〜∞．

　また，

　　ｌｏｇΠ（１−１／ｐ）＝Σｌｏｇ（１−１／ｐ）

１／ｐが非常に小さいとき，マクローリン展開より，

　　Σｌｏｇ（１−１／ｐ）〜−Σ（１／ｐ）

ですから，

　　Σ（１／ｐ）＝∞

になります．したがって，すべての素数の逆数の和は発散することが示されます．

　１７３７年，オイラーは素数の逆数の和が無限大になることを見つけました．このことから，素数が無限個あることはかんたんにわかります．また，調和級数Σ（１／ｎ）は発散し，また，オイラー級数Σ（１／ｎ^2）＝π^2／６で収束しますから，素数は平方数ほどまばらには分布していないこともわかります．

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【３】素因数の個数の近似値（ハーディーとラマヌジャン）

　さらに，このことを詳しく調べると，

　　Σ（１／ｐ）〜ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）　（ｐはｐ≦ｘの素数を動く，証明略）

などがわかってきます．ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）は１／（ｘｌｏｇｘ）の原始関数です．

　Σ（１／ｐ）はｘに近い整数について，その素因数の個数の近似値を与えるもので，ハーディーとラマヌジャンにより明らかにされています．

　　１２＝２×２×３・・・素因数は３個

　　１４＝２×７・・・素因数は２個

　　１６＝２×２×２×２・・・素因数は４個

素因数の数はｌｏｇｌｏｇｎにほぼ等しい．

　なお，素数の逆数の和Σ（１／ｐ）については

　　ｌｉｍ｛Σ（１／ｐ）−ｌｏｇｌｏｇｎ｝→０．２６１４９・・・

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