ここでは，

　　Σｋ^2ｌｏｇｋ

について考えてみる．

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^2ｌｏｇｘ ｆ^(5)（ｘ）＝６／ｘ^3

　　ｆ’（ｘ）＝２ｘｌｏｇｘ＋ｘ　　ｆ^(6)（ｘ）＝−２４／ｘ^4

　　ｆ”（ｘ）＝２ｌｏｇｘ＋３ ｆ^(7)（ｘ）＝１２０／ｘ^5

　　ｆ^(3)（ｘ）＝２／ｘ 　ｆ^(8)（ｘ）＝−７２０／ｘ^6

　　ｆ^(4)（ｘ）＝−２／ｘ^2 ｆ^(9)（ｘ）＝５０４０／ｘ^7

より，

　　ｆ^(k)（ｘ）＝(-1)^k-1（ｋ−２）！／ｘ^k-2

　　ｆ^(2k-1)（ｘ）＝（２ｋ−３）！／ｘ^2k-3

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　Σ(1,n)k^2logk〜∫(1,n)x^2logxdx+(f(n)+f(1))/2+ΣB2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))+R

　　∫(1,n)x^2logxdx=[x^3/3･logx]-∫(1,n)x^2/3dx=n^3/3･logn-n^3/9+1/9

　　(f(n)+f(1))/2=n^2logn/2

　　(f'(n)-f'(1))/12=1/12･(2nlogn+n-1)

　　(f^(3)(n)-f^(3)(1))/720=(2/n-2)/720

　　(f^(5)(n)-f^(5)(1))/30240=(6/n^3-6)/30240

　　(f^(7)(n)-f^(7)(1))/1209600=(120/n^5-120)/1209600

　　B2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))=B2k/(2k)!（２ｋ−３）！（１／ｘ^2k-3−１）→-B2k/(2k)(2k-1)(2k-2)

　　Σk^2logk〜(n^3/3+n^2/2+n/6)･logn-n^2/9+n/12+C

　　C=1/9-1/6+1/360-1/5040+1/10080-･･･

定数Ｃは

　　Ｃ＝−ζ’（−２）

で与えられる．

　　Σk^2logk〜(n^3/3+n^2/2+n/6)･logn-n^3/9+n/12-ΣB2k/(2k)(2k-1)(2k-2)

　　K=2~

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝