ここでは，発散級数

　　Σｋｌｏｇｋ→∞

の誤差項を評価してみたい．

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【１】オイラー・マクローリンの和公式

　Σ(1,∞)klogkは発散する．超階乗がでてくるから明らかであろう（超階乗は正の整数 n について H(n)=Πk^k）．

　そこで，オイラー・マクローリンの和公式を用いることにする．

　　ｆ（ｘ）＝ｘｌｏｇｘ

　　ｆ’（ｘ）＝ｌｏｇｘ＋１

　　ｆ”（ｘ）＝１／ｘ

　　ｆ^(3)（ｘ）＝−１／ｘ^2

　　ｆ^(4)（ｘ）＝２／ｘ^3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　Σ(1,n)klogk〜∫(1,n)xlogxdx+(f(n)+f(1))/2+(f'(n)-f'(1))/12+R

　　∫(1,n)xlogxdx=[x^2/2･logx]-∫(1,n)x/2dx=n^2/2･logn-n^2/4+1/4

　　(f(n)+f(1))/2=n/2･logn

　　(f'(n)-f'(1))/12=1/12･logn

より

　　Σklogk〜(n^2/2+n/2+1/12)･logn-n^2/4*n^2+1/4+R

　　|R|<=2ζ(2)/(2π)^2∫(1,n)1/xdx〜1/12･logn

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　Σ(1,n)klogk〜∫(1,n)xlogxdx+(f(n)+f(1))/2+(f'(n)-f'(1))/12-(f^(3)(n)-f^(3)(1))/720+R

　　∫(1,n)xlogxdx=[x^2/2･logx]-∫(1,n)x/2dx=n^2/2･logn-n^2/4+1/4

　　(f(n)+f(1))/2=n/2･logn

　　(f'(n)-f'(1))/12=1/12･logn

　　(f^(3)(n)-f^(3)(1))/720=(-1/n^2+1)/720

より

　　Σklogk〜(n^2/2+n/2+1/12)･logn-n^2/4+1/4-(1/n^2-1)/720+R

　　|R|<=2ζ(4)/(2π)^4∫(1,n)2/x^3dx〜1/120･l／n^4

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【２】まとめ

　オイラー・マクローリンの和公式は，以下

　+(f^(5)(n)-f^(5)(1))/30240

　-(f^(7)(n)-f^(7)(1))/1209600

と続く．

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