ヘーグナー数は整数論の別の領域とも深い関係にある。

　−ｄ＝４３，６７，１６３

はとても面白い性質をもっています．

　　ｘ＝ｅｘｐ（π√ｄ）

が数値的にとても整数に近くなりうるというものです．驚くべき近似！

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　　ｅｘｐ（π√１９）＝12^3(3^2-1)^3-744-0.22=884736743.999777･･･

　　ｅｘｐ（π√４３）＝12^3(9^2-1)^3-744-0.00022=884736743.999777･･･

　　ｅｘｐ（π√６７）＝12^3(23^2-1)^3-744-0.0000013=147197952743.99999866･･･

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝12^3(231^2-1)^3-744-0.00000000000075=262537412640768743.99999999999925007･･･

　これは決して偶然の一致ではありません．ｘに対しては

　　ｘ−７４４＋１９６８８４／ｘ−２１４９３７６０／ｘ^2＋・・・

がぴったり整数になることがわかっています．これらの係数は重さ０のモジュラー関数においてｑ→−１／ｘとしたものです．

　ｘが大きいほど後半の項は小さな値となるので，ｘ自身は極めて整数（実は立方数）に近い数になるというわけです．

　　ｅｘｐ（π√１９）＝９６^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√４３）＝９６０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√６７）＝５２８０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

ｅｘｐ（π√１６３）の近似値は１８５９年にエルミートによりすでに求められていたのですが、　１９６５年のエイプリル・フールのジョークとして，マーチン・ガードナーは整数だと主張し，さらに，冗談で１９１４年のラマヌジャンの論文に書かれてあるとしました．それ以降，ｅｘｐ（π√１６３）はラマヌジャン定数という名前で呼べれるようになったとのことです．

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　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

　　ε＝７．５×１０^-13

　　｛ｌｏｇ（６４０３２０）^3＋７４４）／π｝^2＝１６３＋２．３２×１０^-33

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　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４

しかしながら，ゲルフォント・シュナイダーの定理より，ｅｘｐ（π√１６３）は超越数であって，整数にはならないことが証明されます．

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　　ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･

である．整数との差はわずか１兆分の１未満である．もしこれが整数になったら一大事であるが，見事としかいいようがない．

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

　　ε＝７．５×１０^-13

　　｛ｌｏｇ（６４０３２０）^3＋７４４）／π｝^2＝１６３＋２．３２×１０^-33

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