インド生まれの数学者ラマヌジャンは，多くの公式や定理を発見し，神秘的な東洋の天才数学者とよばれていて，１日１つの割合で新しい公式または定理を発見したといわれています．　すべての素数をわたる無限積

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／３・１０／８・２６／２４・５０／４８・・・＝５／２

が成り立つというのもラマヌジャンの式です．今回のコラムではランダウ・ラマヌジャン定数を紹介します。

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すべての整数は４つ以下の平方数の和として表現することができます（ラグランジュの定理，１７７０年）．素数とは関係はないのですが，２つの平方数の和として表現できるｘ以下の整数の個数をｎ（ｘ）とすると，ランダウとラマヌジャンはそれぞれ独自に

　　ｎ（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^1/2　　　（ｘ→∞）

　　Ｃ＝｛１／２Π（１／１−ｐ^-2）｝^1/2＝０．７６４２２３６５３・・・

　　ｐは４ｎ＋３型素数をわたる

が成り立つことを証明しました．

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