【３】グリーン・タオの定理

グリーン・タオの定理（２００４年）はセメレディの定理を素数の集合を含む十分広い範疇の集合に適用できるように精密化されたものになっている．具体的にどのような素数列であるのか決定することはできないのであるが，エルデシュ予想はグリーンとタオによって証明されたのである．

素数のみからなる等差数列，

　　ａ，ａ＋ｄ，・・・，ａ＋（ｎ−１）ｄ

において，「任意に長いｎ個の素数の等差数列が存在する」（グリーン・タオの定理：２００４年），つまり，３個組，４個組，５個組，・・・，ｎ個組．ｎは１００個でも１００万個でも好きな数だけ等差数列を作れるのである．ただし，公差ｄを指定することはできない．

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エルデシュ予想の面白い特別な場合、すなわち、素数全体の集合の場合は、グリーンとタオにより肯定的に解かれたのである。

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グリーン・タオの定理は数論の問題であるが、エルデシュ予想の任意の集合への拡張は組み合わせ論・エルゴード理論の問題である。

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