自然数の中に等間隔になる数は当たり前であるから，素数の中に等間隔の並ぶ数を考える．

　等間隔の素数

（３，５，７）３個組（公差２）

（３，７，１１）３個組（公差４）

（２９，５９，８９）３個組（公差３０）

（１１，１７，２３，２９）４個組（公差６）

（７，１９，３１，４３）４個組（公差１２）

（５，２３，４１，５９）４個組（公差１８）

（５，１１，１７，２３，２９）５個組（公差６）

（５，１７，２９，４１，５３）５個組（公差１２）

（１１，４１，７１，１０１，１３１）５個組（公差３０）

　等差数列が素数だけで構成されるために，公差に課される条件は偶数でなければならない．とくに，長さが３以上の等差素数列を作るためには，公差は偶数かつ３の倍数でなければならない．すなわち６の倍数でなければならない．

　３個組，４個組，５個組，・・・ときて，２６個組の存在は知られているが，５０個組，１００個組は存在するだろうか？

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【１】エルデシュ予想

　「自然数列｛ａi｝がΣ１／ａi＝∞を満たすならば，自然数列｛ａi｝は任意の長さの等差数列を含む．」

　Σ｛１／ｐ）→∞なので，エルデシュ予想を証明すれば各項が素数である任意の長さの等差数列が存在することがわかる．

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【２】セメレディの定理

　十分大きな集合の中からどれだけ少ない割合の数を選んだとしても，必ず長い等差数列が見つかる．

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【３】グリーン・タオの定理

　ここで，素数のみからなる等差数列，

　　ａ，ａ＋ｄ，・・・，ａ＋（ｎ−１）ｄ

において，「任意に長いｎ個の素数の等差数列が存在する．」（グリーン・タオの定理：２００４年）

　つまり，３個組，４個組，５個組，・・・，ｎ個組．ｎは１００個でも１００万個でも好きな数だけ等差数列を作れるのである．ただし，公差ｄを指定することはできない．この事実は２００４年にグリーンとタオによって証明された．

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