【１】２平方恒等式（ブラーマグプタ，フィボナッチ）

　複素数ｘ＝ａ＋ｂｉの絶対値は｜ｘ｜^2 ＝ａ^2 ＋ｂ^2 ＝（ａ＋ｂｉ）（ａ−ｂｉ）で与えられますが，ここで，数の体系に「積のベクトルの大きさはベクトルの大きさの積に等しい」という条件が要請されているとしましょう．

　複素数ｘ＝ａ＋ｂｉとｙ＝ｃ＋ｄｉの積

ｘｙ＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝（ａｃ−ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ

は同じ空間内のベクトルとして表されますが，

（ａ^2 ＋ｂ^2 ）（ｃ^2 ＋ｄ^2 ）＝（ａｃ−ｂｄ）^2 ＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

より，｜ｘ｜・｜ｙ｜＝｜ｘｙ｜が満たされていることがわかります．

　フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

（ａ^2 ＋ｂ^2 ）（ｃ^2 ＋ｄ^2 ）＝（ａｃ−ｂｄ）^2 ＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

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【２】４平方恒等式（オイラー）

　４平方和問題（ａ^2 ＋ｂ^2 ＋ｃ^2 ＋ｄ^2 ）（ｐ^2 ＋ｑ^2 ＋ｒ^2 ＋ｓ^2 ）＝ｘ^2 ＋ｙ^2 ＋ｚ^2 ＋ｗ^2 は

ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

とおくと成り立ち，４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていることを示しています．

　しかし，３平方和問題（ａ^2 ＋ｂ^2 ＋ｃ^2 ）（ｘ^2 ＋ｙ^2 ＋ｚ^2 ）＝ｕ^2 ＋ｖ^2 ＋ｗ^2 は２平方和，４平方和の場合のようなわけにはいきません．３平方和の積が必ずしも３平方和とならないからです．

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【３】８平方恒等式（デゲン，１８１８年）

【４】ｎ平方恒等式（フルヴィッツ，１８９８年）

　｜ａ｜・｜ｂ｜＝｜ｃ｜，すなわち

（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋・・・＋ｂn^2）＝（ｃ1^2＋ｃ2^2＋・・・＋ｃn^2）

の恒等式はｎ＝１，２，４，８に対してだけ満たされるという驚くべき結果が１９世紀末，フルヴィッツにより証明されています（１８９８年）．

　したがって，ある条件のもとで，数の体系は八元数までですべてであることが知られていて，数の系列は実数（一元数）→複素数（二元数：ガウス）→四元数（ハミルトン）→八元数（ケイリー）というようになっているのです．

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