１９１４年，ハウスドルフは球面がＫ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｑに分解される，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｂ＋Ｃは合同，Ｑは可算集合であることを証明した．これからＡの面積は球面の面積の１／３とも１／２ともなるので矛盾する．

　１９５３年，シェルピンスキーは，ハウスドルフが考案した逆説を改良し，球面（と球）を有限個の小片に分割し再結合させると元と同じ大きさの２つの球面（と球）を作ることを示しました．したがって，元と同じ球体を好きな個数だけ作ることができることになります．（シェルピンスキーはハウスドルフ，バナッハ・タルスキー両方のパラドックスを改良をしたことになる．）

［補］１９４７年．ロビンソンは単位球を５つに分解して，組み換えると単位球が２つできることを示した．この５つのうち，ひとつは１点である．さらに，１９５６年，デッカーとグローはこの分割のどの部分も連結であるようにできることを示した．

［補］タルスキーの問題「円板を有限個の破片に分けて，集めて同じ面積の正方形にすることができるか」は，１９９０年になっておよそ１０^50個の破片を使って可能であることがラスコヴィッチによって証明された．ある意味，円積問題（円の面積に等しい正方形を作図する）は不可能ではなかったことになる．

［補］WagonのBanach-Tarski Paradox第二版では、内容は大幅に改訂されたようである．そのなかに「Satoの回転」というのがでてくる．１９９５年にK.Satoにより発表された球の回転である．Satoの回転により，球面上の有理点の集合が選択公理なしに逆説的に分解されるとのことである．

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　Satoの回転の計算にはMathematicが使われた由．ところで，ＳＯ（３）の回転σが与えられたとする．回転軸はσの固有ベクトルとみなしてよい．回転の角度をθとしたとき，Cosθはどのようにとるか？

　任意の軸（その方向余弦をcosα, cosβ,cosγとする）の周りのθ回転には２つの表現方法（四元数を用いるものと四元数を用いないもの）があるがある．

　Satoの回転を四元数表現して(Cosθ／２)を計算するのであるが，要は固有ベクトルと直交するベクトルを選択すると，

　σv,v＝｜v｜^2 cosθ

となる．

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