正三角形が４つの断片に切り分けられていて，ハトメを中心として回転させると正三角形が正方形に変身するというパズルをご存知でしょうか？ 　正三角形を６ピースに切って並び替えると正方形に作り替えることができるパズルもあるのですが，その切断はあまりエレガントではありません．切り方を工夫してピースの個数を減らしたい・・・これは大変な難問ですが，デュドニーはわずか４ピースにして１回のハトメ返しで正三角形から正方形に移すことに成功しました． 　ハトメのうち２つは正三角形の２辺の中点にあり，もう一つの辺は０．９８２：２：１．０１８に内分され，その一方にハトメがついています．このパズルには平面充填形（タイル張り）の理論が潜んでいることに気づけばその切り分け方を見いだすことができます．

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　デュドニーのカンタベリー・パズルやタングラムは分解合同の例であるが，任意の多角形は同じ面積の正方形と分解合同である（ボヤイ・ゲルビンの定理）．

３次元の多面体分割では，ボヤイ・ゲルビンの定理に類似するものは存在するのだろうか？

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【１】デーン・シドラーの有限分解合同定理

　デーンは１９０１年に「体積の等しい多面体であって，一般には分解合同ではない」ことを，辺の長さと二面角に基づくデーン不変量を割り当てることによって証明した．それはヒルベルトの第３問題に対する答えになっていた．当時デーンは２２才で，これはヒルベルトの２３問題の中で最初に解決されたものであった．

　デーンは分解合同となるための必要条件だけを示したのであるが，シドラーはデーンの条件が十分条件でもあることを示した．デーン・シドラーの定理は２つの多面体が分解合同になるための必要十分条件を与えるものである．ハドヴィゲールはこの問題を平行移動に置き換えて得られる問題についても研究した．

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