［ｃ］＝［ｃｏｓ２π／ｎ，−ｓｉｎ２π／ｎ］［ａ］

　　［ｄ］　［ｓｉｎ２π／ｎ，　ｃｏｓ２π／ｎ］［ｂ］

において，ｃｏｓ２π／ｎ，ｓｉｎ２π／ｎがともに有理数となるのは，ｎ＝１，２，４に限られるから，格子正ｎ角形が存在するのはｎ＝４のときだけであった．

［Ｑ］格子等角ｎ角形，格子等辺ｎ角形の場合はどうだろうか？

　格子等角ｎ角形が存在するのはｎ＝４，８に限る．

　格子等辺ｎ角形が存在するのはｎが４以上の偶数のときである．

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　それでは，

［Ｑ］３次元空間内の格子正ｎ角形が存在するのは？

　　ｎ＝３，４，６に限るというのが「シェレルの定理」であった．

　なお，ベクトルａ＝（ａ1，ａ2，ａ3）の大きさを｜ａ｜で表すと，

［１］格子正方形が存在するための必要十分条件は｜ａ｜が自然数になること

［２］格子三角形が存在するための必要十分条件は√３｜ａ｜が自然数になることである．

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［Ｑ］３次元空間内の格子正多面体が存在するのは？

　これは正四面体，立方体，正八面体の３つである．

［Ｑ］４次元空間内の格子正多面体が存在するのは？

　これは４次元立方体，正１６胞体，正２４胞体の３つである．

［Ｑ］５次元以上のｎ次元空間内の格子正単体が存在するのは？

　ｎが偶数のとき，ｎ＋１が平方数であることが必要十分条件である．

　ｎが奇数のときは，ｎ＝３（ｍｏｄ４）であれば常に存在．ｎ＝１（ｍｏｄ４）であれば，ｎ＋１が２つの平方数の和であれば格子正単体が存在する．

　したがって，ｎ次元空間内の格子正単体が存在するのは，

　　ｎ＝１，３，７，８，９，１１，１５，１７，１９，２３，２４，２５，２７，３１，３３，・・・

となる．

　証明は驚くほど簡単である．

　　枡田幹也，福川由貴子「格子から見える数学」日本評論社

を参照されたい．

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