平面上の点で座標が両方とも整数の点を格子点といいます．格子正多角形の問題はフェルマーの二平方和と密接な関係があります．

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（Ｑ）面積ｎの正方形ｎ（ｎは自然数）の４つの頂点がそれぞれ空間格子点Ｚ^3に載るようにしたい．どのようなｎについて可能であるか？

（Ａ）たとえば７は３つの平方の和には書けないことからわかるように，このようなことはいつでもできるとは限らない．ｎが奇数の平方因子を含まないならば，この問題は座標面以外の空間格子点に載せることはできない（座標面上だったらできることもあるしできないこともある）．

　ｎ＝１，２，３，４，５，６，７，８は奇の平方因子を含まないが，ｎ＝９＝３^2の場合，たとえばＡ（−１，２，２），Ｂ（２，−１，２）とすればよい．

　この問題の高次元化はすぐ考えられる．

（Ｑ）４次元空間に与えられた面積ｎの正方形をはめ込むことができるか？

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（Ｑ）正方格子Ｚ^2の格子点３個を選んで正三角形を作ることは可能か？

　この問題は不定方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2＋ｗ^2＝（ｘ−ｚ）^2＋（ｙ−ｗ）^2

を解くことと同じである．

　一般に，どのようなｎに対して正ｎ角形が作れるかについては，正方格子の代わりに正三角形格子ではどうなるか？　立方格子では・・・？　ｍ次元格子では・・・？と発展展開させることができる．さて，答は・・・？

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