［Ｑ］

１／１・２＋１／２・３＋１／３・４＋１／４・５＋・・・＝？

１／１・２・３＋１／２・３・４＋１／３・４・５＋１／４・５・６＋・・・＝？

１／１・２・３・４＋１／２・３・４・５＋１／３・４・５・６＋１／４・５・６・７＋・・・＝？

１／１・２・・・（ｒ−１）・ｒ＋１／２・３・・・ｒ（ｒ＋１）＋１／３・４・・・（ｒ＋１）（ｒ＋２）＋１／４・５・・・（ｒ＋２）（ｒ＋３）＋・・・＝？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

１／１・２=1/1-1/2

１／２・３=1/2-1/3

１／３・４=1/3-1/4

１／４・５=1/4-1/5

辺々加えると

１／１・２＋１／２・３＋１／３・４＋１／４・５＋・・・＝１

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

１／１・２・３=1/2{１／１・２-１／２・３}

１／２・３・４=1/2{１／２・３-１／３・４}

１／３・４・５=1/2{１／３・４-１／４・５}

辺々加えると

１／１・２・３＋１／２・３・４＋１／３・４・５＋１／４・５・６＋・・・＝1/4

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

１／１・２・３・４=1/3{１／１・２・３-１／２・３・４}

１／２・３・４・５=1/3{１／２・３・４-１／３・４・５}

１／３・４・５・６=1/3{１／３・４・５-１／４・５・６}

辺々加えると

１／１・２・３・４＋１／２・３・４・５＋１／３・４・５・６＋１／４・５・６・７＋・・・＝1/18

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

積和の公式も同様に導き出すことができます。

１・２＋２・３＋３・４＋４・５＋・・・＋ｎ・（ｎ＋１）＝？

１・２・３＋２・３・４＋３・４・５＋４・５・６＋・・・＋ｎ・（ｎ＋１）・（ｎ＋２）＝？

１・２・３・４＋２・３・４・５＋３・４・５・６＋４・５・６・７＋・・・＋ｎ・（ｎ＋１）・（ｎ＋２）・（ｎ＋３）＝？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

f(x)=x(x+1)(x+2)とおくと

f(x+1)-f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)-x(x+1)(x+2)=3(x+1)(x+2)

f(2)-f(1)=3(1+1)(1+2)

f(3)-f(2)=3(2+1)(2+2)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

f(n)-f(n-1)=3(n-1+1)(n-1+2)

辺々加えると１・２＋２・３＋３・４＋４・５＋・・・＋ｎ・（ｎ＋１）＝n(n+1)(n+2)/3

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)とおくと f(x+1)-f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-x(x+1)(x+2)=4(x+1)(x+2)(x+3)

１・２・３＋２・３・４＋３・４・５＋４・５・６＋・・・＋ｎ・（ｎ＋１）・（ｎ＋２）=n(n+1)(n+2)(n+3)/4

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝