ベキ和

Sk(n)=1^k+2^k+3^k+・・・+n^k

ではなく

ベキの逆数和

Tk(n)=1/1^k+1/2^k+1/3^k+・・・+1/n^k

の分子についてはどのような周期性がみられるだろうか？

ウォルステンホルムの定理の紹介から始めたい。

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【３】ウォルステンホルムの定理の拡張

（Ｑ）ｐ＞３が素数ならば

　　Ｓ＝（（ｐ−１）！）^2（１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2）

がｐで割り切れることを証明せよ．

　ｐが２，３以外の素数ならば有限調和級数

　　１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2

の分子はｐで割り切れる，したがってｐが素数のときに限り分子はｐで割り切れるというものです．

（Ａ）

　　１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2

の分子は

　　（Ａp-2）^2−２（ｐ−１）！Ａp-3

であり，ｐで割り切れる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

p=5

1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2の分子は5で割り切れる。

(2・3・4)^2+(1・3・4)^2+(1・2・4)^2+(1・2・3)^2=576+144+64+36=820

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　同様に

　「ｐが素数でｐ＞５であるときに限り，

　　１＋１／２^3＋１／３^3＋・・・＋１／（ｐ−１）^3

の分子はｐ^2で割り切れる」

　「ｐが素数でｐ＞７であるときに限り，

　　１＋１／２^4＋１／３^4＋・・・＋１／（ｐ−１）^4

の分子はｐで割り切れる」

　１８１９年，バベッジは

　　（２ｐ−１，ｐ−１）＝１　　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

に気づきましたが，１８６２年，ウォルステンホルムは

　　（２ｐ−１，ｐ−１）＝１　　　（ｍｏｄ　ｐ^3）

を証明したことになります．

　一般に，ｐを素数，ｋをｐ−１で割り切れない正の整数とするとき，

　　１＋１／２^k＋１／３^k＋・・・＋１／（ｐ−１）^k

の分子はｐで割り切れる

　＝１＋２^k＋３^k＋・・・＋（ｐ−１）^k

がｐで割り切れることが示されています．

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ベキの逆数和の場合もベキ和Sk(p-1)＝１＋２^k＋３^k＋・・・＋ｎ^kの場合に帰着されるのですが、

k=0 (mod p-1)→周期の長さp^2

k≠0 (mod p-1)→周期の長さp

となることが示されています。

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