コラム「ｉのｎ乗」ではベキ乗のmod 10などによる整除性について調べ、周期性・対称性が見られることを述べた。

例えばmod 10の場合、

自然数をｎ乗して1の位だけを残してみよう(mod10)

1^1=1→2^1=2→3^1=3→4^1=4→5^1=5→6^1=6→7^1=7→8^1=8→9^1=9

1^2=1→2^2=4→3^2=9→4^2=6→5^2=5→6^2=6→7^2=9→8^2=4→9^2=1・・・周期性・対称性がみられる

1^3=1→2^3=8→3^3=7→4^3=4→5^3=5→6^3=6→7^3=3→8^3=2→9^3=9・・・周期性・対称性がみられる

1^4=1→2^4=6→3^4=1→4^4=6→5^4=5→6^4=6→7^4=1→8^4=6→9^4=1・・・周期性・対称性がみられる

もっと続けてみると

1^5=1→2^5=2→3^5=3→4^5=4→5^5=5→6^5=6→7^5=7→8^5=8→9^5=9・・・1乗と同じ

1^6=1→2^6=4→3^6=9→4^6=6→5^6=5→6^6=6→7^6=7→8^6=4→9^6=1・・・2乗と同じ

1^7=1→2^7=8→3^7=7→4^7=4→5^7=5→6^7=6→7^7=3→8^4=2→9^7=9・・・3乗と同じ

1^8=1→2^8=6→3^8=1→4^8=6→5^8=5→6^8=6→7^8=1→8^8=6→9^8=1・・・4乗と同じ

はじめの４つの行が繰り返されるだけである。

k^(4n+1)=k^1 (mod10)

k^(4n+2)=k^2 (mod10)

k^(4n+3)=k^3 (mod10)

k^(4n+4)=k^4 (mod10)

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ベキ和

Sk(n)=1^k+2^k+3^k+・・・+n^k

についても類似の結果が得られるに違いない。

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