１／１＝１／２＋１／６＋１／１２＋１／２０＋１／３０＋・・・＋１／ｎ（ｎ＋１）＋・・・

１／２＝１／３＋１／１２＋１／３０＋１／６０＋１／１０５＋・・・

１／３＝１／４＋１／２０＋１／６０＋１／１４０＋１／２８０＋・・・

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【１】ライプニッツの調和三角形

１／１

１／２　１／２

１／３　１／６　１／３

１／４　１／１２　１／１２　１／４

１／５　１／２０　１／３０　１／２０　１／５

１／６　１／３０　１／６０　１／６０　１／３０　１／６

１／７　１／４２　１／１０５　１／１４０　１／１０５　１／４２　１／７

１／８　１／５６　１／１６８　１／２８０　１／２８０　１／１６６　１／５６　１／８

１／９　１／７２　１／２５２　１／５０４　１／６３０　１／５０４　１／２５２　１／７２　１／９

において，各数は下および右下の数の和である．たとえば，

　　１／２＝１／３＋１／６

　　１／３＝１／４＋１／１２

　　１／６＝１／１２＋１／１２

　パスカルの三角形では，一般項は（ｎ，ｒ）であるが，ライプニッツの調和三角形では１／（ｎ＋１）（ｎ，ｒ）になっていて，

　　１／（ｎ＋１）（ｎ，ｒ−１）＋１／（ｎ＋１）（ｎ，ｒ）＝１／ｎ（ｎ−１，ｒ−１）

より，各数は下および右下の数の和であることが証明される．

　それを無限に繰り返すと冒頭の級数が得られる．

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