無限級数

　　Σｎ^3／２^n＝２６

を示したが，

　　Σｎ^4／２^n＝１５０

　　Σｎ^5／２^n＝１０８２

今回のコラムでは，それよりも易しい無限級数

　　Σ（ｎ−１）／３^n＝１／４

を扱うことにする．

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　有限級数

　１／９＋２／２７＋３／８１＋・・・＋（ｎ−１）／３^n

＝１／４（１−（２ｎ＋１）／３^n）

を示すことができれば，直ちに

　　Σ（ｎ−１）／３^n＝１／４

が証明される．

［１］ｎ＝２のとき

　　左辺＝１／９，右辺＝１／４（１−５／９）＝１／９

［２］ｎ＝ｋのとき

左辺＝１／４（１−（２ｋ＋１）／３^k）が成り立つものとする．

［３］ｎ＝ｋ＋１のとき

左辺＝１／４（１−（２ｋ＋１）／３^k）＋ｋ／３^k+1

＝１／４（１−（２ｋ＋１）／３^k＋４ｋ／３^k+1）

＝１／４（１−（６ｋ＋３）／３^k+1＋４ｋ／３^k+1）

＝１／４（１−（６ｋ＋３）／３^k+1＋４ｋ／３^k+1）

＝１／４（１−（２ｋ＋３）／３^k+1）

＝１／４（１−（２（ｋ＋１）＋２）／３^k+1）＝右辺

が成り立つ．

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