【１】トーラス面上の地図の彩色

　平面や球面上に描かれた地図に関するオイラーの公式は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

でしたが，トーラス上の地図に関するオイラーの公式は

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝０

です．

　トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることを証明するために，どの領域も少なくとも７つの領域で囲まれていると仮定すると

　　７ｆ≦２ｅ

また，３ｖ≦２ｅですから

　　ｖ−ｅ＋ｆ≦２／７ｅ−ｅ＋２／３ｅ＝−１／２１ｅ≠０

という矛盾を引き出すことができます．

　したがって，トーラスでは６個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります．このことを利用すると，

　　「トーラス上のどんな地図でも７色で塗り分けられる」

ことが証明されます．ヒーウッドは実際に７色を必要とする例もあげています．

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［１］球面上のＫ4

［２］トーラス面上のＫ7

［３］種数６表面上のＫ12

は，ヒーウッドの公式「ｇ個の穴があいているトーラス上の地図はどれも

　　Ｈ（ｇ）＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

色で塗り分けられる」に対応したものである．

　なぜならば，

　　ｇ＝（ｖ−３）（ｖ−４）／１２

　　ｖ^2−７ｖ＋１２−１２ｇ＝０

　　ｖ＝［｛７＋√（１＋４８ｇ）｝／２］

となって，完全に一致する．

　以下，

　　ｇ＝１１　→　Ｋ15

　　ｇ＝１３　→　Ｋ16

　　ｇ＝２０　→　Ｋ19

　　ｇ＝３５　→　Ｋ24

　　ｇ＝４６　→　Ｋ27

　　ｇ＝５０　→　Ｋ28

　　ｇ＝６３　→　Ｋ31

　　ｇ＝８８　→　Ｋ36

と続く．１＋４８ｇ型の平方数は無数にあるのだろう．

　ともあれ，彩色数はオイラー標数とは別の表面の不変量なのである．

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【２】ジラシ（シラッシ）の多面体

1977年、ハンガリー人数学者シラッシはトーラスと同じ位相幾何学的性質を持つ、その中で面数が最小の７面体を発見した。

チャサールの多面体の双対で面数は７,14個の頂点、21本の辺がある。

どの面も６角形で，他の６面と辺を共有している．

それぞれの面がほかのどの面とも辺を共有していることが知られている多面体は四面体だけである。

トーラス上の地図を塗り分けるのに７色必要な例となっている．

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