互いに接する半径1/2ぼ円の一方は数直線上の0で接っし、もう一つは1で接するように配置する。

この数直線と2円に接する第3の円を加えると数直線上の1/2で接する。

それでは、

[Q]数直線と第1の円、第3の円に接する第4の円は数直線上のどの点で接することになるのだろうか？

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[A]x=1/3

数直線と第2の円、第3の円に接する第5の円は数直線上のx=2/3で接する

これを繰り返すと次の段階では[1/4,1/3]で接する

その次の段階では[1/5,2/5,3/5,4/5]で接する

意外なことにこれらの接点は[0,1]の間の有理数になり、すべての有理数はこのように生み出されていることになる。

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半径1の大円の中に半径が1/2の小円を2個内接している状態から始めて、デカルトの4接円定理

2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2

を検してみたい。

2(2^2+2^2+8^2)=(2+2+8)^2→2b^2=8→接点は[0/1,1/1]=1/2

2(2^2+8^2+18^2)=(2+8+18)^2→→接点は[0/1,1/2]=1/3

2(2^2+18^2+32^2)=(2+18+32)^2→→接点は[0/1,1/3]=1/4

2(8^2+18^2+50^2)=(8+18+50)^2→→接点は[1/3,1/2]=2/5

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任意の点p/qが半径1/2q^2のフォード円が数直線と接するときの接点である

2q^2=8→q=2

2q^2=18→q=3

2q^2=32→q=4

2q^2=50→q=5

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Σφ(n)〜3n^2/π^2

ｘ軸に接する円のガスケットを考えるとき、ｐ/qに接する円の半径の逆数は2q^2であるから、円の面積の合計は

π(1/2)^2+π(1/8)^2+2π(1/18)^2+・・・

=π Σφ(n)/(2n^2)^2 (n＞1)

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f0=2,f1=2

2((fn-2)^2+f(n-1)^2+(fn)^2)=((fn-2)+f(n-1)+(fn))^2

(fn-2)^2+f(n-1)^2+(fn)^2-2(fn-2)f(n-1)-2f(n-1)(fn)-2f(n-2)(fn)=0

(fn)^2-2{fn-2+fn-1}fn+{fn-2-fn-1}^2=0・・・一般項は2n^2になるのであるがうまく誘導できない

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