互いに接する半径1/2ぼ円の一方は数直線上の0で接っし、もう一つは1で接するように配置する。

この数直線と2円に接する第3の円を加えると数直線上の1/2で接する。

それでは、

[Q]数直線と第1の円、第3の円に接する第4の円は数直線上のどの点で接することになるのだろうか？

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[A]x=1/3

数直線と第2の円、第3の円に接する第5の円は数直線上のx=2/3で接する

これを繰り返すと次の段階では[1/4,1/3]で接する

その次の段階では[1/5,2/5,3/5,4/5]で接する

意外なことにこれらの接点は[0,1]の間の有理数になり、すべての有理数はこのように生み出されていることになる。

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半径1の大円の中に半径が1/2の小円を2個内接している状態から始めて、デカルトの4接円定理

2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2

を検してみたい。

2(2^2+2^2+8^2)=(2+2+8)^2→2b^2=8→接点は[0/1,1/1]=1/2

2(2^2+8^2+18^2)=(2+8+18)^2→→接点は[0/1,1/2]=1/3

2(2^2+18^2+32^2)=(2+18+32)^2→→接点は[0/1,1/3]=1/4

2(8^2+18^2+50^2)=(8+18+50)^2→→接点は[1/3,1/2]=2/5

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任意の点p/qが半径1/2q^2のフォード円が数直線と接するときの接点である

2q^2=8→q=2

2q^2=18→q=3

2q^2=32→q=4

2q^2=50→q=5

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