有理数p/qに対応するフォード円は、直径が1/q^2であって、数直線のp/qにおいて接する円である。

一方、分母が高々ｄの有理数からなる数列を位数ｄのファレイ数列といい、その各項は高さが1/d^2以上1/(d+1)^2未満の任意の水平線と交わるフォード円と対応している。

位数４のファレイ数列は[0/1,1/4,1/3,1/2,2/3,3/4,1/1]であることが分かる

また、これよりディオファントス近似に関する定理

｜α-p/q｜＜1/2q^2を満たすものが無数に存在することも理解される

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【２】ファレイ数列とディオファントス近似

　ファレイ数列では相隣り合う２項［ｍ1／ｎ1，ｍ2／ｎ2］の分母と分子からなる行列式の値ｍ1ｎ2−ｍ2ｎ1は±１である．すなわち，交差積ｍ1ｎ2とｍ2ｎ1は連続する整数になる．

　また，フォードの円列では（ｍ1／ｎ1，１／２ｎ1^2）を中心とする半径１／２ｎ1^2の円と（ｍ2／ｎ2，１／２ｎ2^2）を中心とする半径１／２ｎ2^2の円が接することになる．フォードの円列は重なり合うことはなく，この２つの円の間に入る一番大きな円はその中間分数（ｍ1＋ｍ2）／（ｎ1＋ｎ2）の円である．

　フォードの円列において，直線ｙ＝１は∞＝１／０に対応すると解釈しよう．すると，有理数ｐ／ｑに対応するフォードの円は半径１／２ｑ^2で，ｘ軸上の点ｐ／ｑにおいて接する円となる．

　同様に分母が高々ｄの有理数からなる位数ｄのファレイ数列の各項は１／ｄ^2≦ｙ＜１／（ｄ＋１）^2の任意の水平線と交わるフォードの円と対応することになる．

　これにより，いくつかのディオファントス近似に関する定理は，（双曲）幾何学的に自明なものとなる．たとえば，任意の無理数αに対して

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2

を満たすものが無数に存在するという定理がそうである．直線ｘ＝αが連接する２つのフォードの円ｐ／ｑ，ｒ／ｓのどちらか一方に交わる．それがｐ／ｑであるとすると｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2が成り立たなければならないからである．

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［補］フルヴィッツの定理

　連続する２つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1とすると，それらのうち一方は｜α−ａ／ｂ｜＜１／２ｂ^2を満たす．連続する３つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1，ａn+2／ｂn+2とすると，それらのうち少なくともひとつは

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2を満たす．

　この結果から「フルヴィッツの定理」

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2を満たす有理数ａ／ｂは無限に多く存在する．

を証明することができる．

　この定数√５は最良のもので，これより大きな数に置き換えることはできないが，黄金比φのようにαの連分数展開が有限個を除いてすべて１になる無理数を除外すれば，フルヴィッツの定理は√５の代わりに√８を用いても成り立つ．

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√８ｂ^2

　　→コラム「無理数・代数的数・超越数（その５）」参照

　次に問題になるのは√２のようなαの連分数展開が有限個を除いてすべて２になる無理数で，それを除くと定理を

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√（２２１／２５）ｂ^2

に改良できる．

　同様の改良を続けていったときの定数√５，√８，√（２２１／２５），・・・がラグランジュ数である．それらは

　　√（９−４／ｍ^2）

において，それぞれｍ＝１，２，５とおいたものである．

　　ｍ＝１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・

はマルコフ数と呼ばれる．マルコフ数は２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

の解として現れる．たとえば（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（２，１，１），（５，１，２），（１３，１，５），（２９，５，２），・・・

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