円に多角形が内接するとき，いろいろな定理が生まれる．

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［１］正三角形ＡＢＣの外接円の弧ＢＣ上に点Ｐをとる．そのとき，

　　ＡＰ＝ＢＰ＋ＣＰ

が成り立つ．

［２］四角形ＡＢＣＤが円に内接しているとき，

　　ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤ

が成り立つ（トレミーの定理）．

　点Ｄを点Ｐとみなせば［２］→［１］を証明することができる．また，トレミーの定理を正五角形に適用すれば対角線の長さ（＝黄金比）を求めることができる．

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　次に，定理［１］を拡張してみる．

［３］正五角形ＡＢＣＤＥの外接円の弧ＣＤ上に点Ｐをとる．そのとき，

　　ＡＰ＋ＣＰ＋ＤＰ＝ＢＰ＋ＥＰ

が成り立つ．

［４］正六角形ＡＢＣＤＥＦの外接円の弧ＢＣ上に点Ｐをとる．そのとき，

　　ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ＋ＤＰ＝ＥＰ＋ＦＰ

が成り立つ．

［５］正七角形ＡＢＣＤＥＦの外接円の弧ＡＧ上に点Ｐをとる．そのとき，

　　ＡＰ＋ＣＰ＋ＥＰ＋ＧＰ＝ＢＰ＋ＤＰ＋ＦＰ

が成り立つ．

　一般に，正奇数角形では

［６］正奇数角形Ａ1・・・Ａ2n+1の外接円の弧Ａ1Ａ2n+1上に点Ｐをとる．そのとき，

　　Ａ1Ｐ＋Ａ3Ｐ＋Ａ5Ｐ＋・・・＋Ａ2n+1Ｐ＝Ａ2Ｐ＋Ａ4Ｐ＋・・・＋Ａ2nＰ

が成り立つ．

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