すべての整数は４つ以下の平方数の和として表現することができます（ラグランジュの定理，１７７０年）．素数とは関係はないのですが，２つの平方数の和として表現できるｘ以下の整数の個数をｎ（ｘ）とすると，ランダウとラマヌジャンはそれぞれ独自に

　　ｎ（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^1/2　　　（ｘ→∞）

　　Ｃ＝｛１／２Π（１／１−ｐ^-2）｝^1/2＝０．７６４２２３６５３・・・

　　ｐは４ｎ＋３型素数をわたる

が成り立つことを証明しました．

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［１］２つの平方数の和となる数は，４ｋ−１型素因数をすべて偶数乗としてもっている数だけである．

［２］４ｋ＋１型素数はすべて２つの平方数の和となる．

［３］４ｋ＋１型の数が素数の場合，２つの平方数に分ける方法は１通りしかない．

ｘより小さい整数のうち、平方数であるか、２つの平方数の和で表されるものの個数をN(x)とすると，

　　Ｎ(x)〜ｋx/(logx)^1/2

k=(1/2Π(1-1/r^2)^-1)^1/2=0.764・・・ランダウ・ラマヌジャン定数

ｒは4ｎ+3型素数

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一方、ｎ^2＋１型素数は

　　πq（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ・√ｔ）〜Ｃ√ｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想できます．ハーディとリトルウッドはＣの値も決定しています．

　　Ｃ＝Π（１−χ（ｐ）／（ｐ−１））

　　ｎ^2＋１＝０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝１

　　ｎ^2＋１≠０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝−１

　　Ｃ＝Π（１−（−１）^(p-1)/2／（ｐ−１））＝１．３７２７・・・

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