正五角形において，

　　対角線の長さ／辺の長さ＝τ

であるが，正十角形においては，

　　外接円の半径の長さ／辺の長さ＝τ

となっている．

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【１】フィボナッチ数

　ａn＝ａn-1＋ａn-2という漸化式で生成される数列の特性方程式

　　ｘ^2−ｘ−１＝０

の２根を

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２

とおきます．

　　α＝（１＋√５）／２＝τ，β＝（１−√５）／２＝−１／τ

τは正五角形と密接な関係にあります．

　すると，フィボナッチ数列

　　１，１，２，３，５，８，・・・

の一般項は，

　　ｆn ＝１／√５（α^n+1−β^n+1）　　　（n:0~)

で表されます．

　連続する２項の比は

　　（１＋√５）／２

に次第に近づくことになります．また，τの連分数展開は

　　［１：１，１，１，・・・］

になります．

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【２】ペル数

　ａn＝２ａn-1＋ａn-2という漸化式で生成される数列

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

はペル数列と呼ばれます．ペル数列の特性方程式

　　ｘ^2−２ｘ−１＝０

の２根を

　　γ＝１＋√２，δ＝１−√２

とおきます．

　　γ＝１＋√２＝θ，δ＝１−√２＝−１／θ

θは正八角形と密接な関係にあります．

　すると，ペル数列の一般項は，

　　ｐn ＝１／２√２（γ^n+1−δ^n+1）　　　（n:0~)

　連続する２項の比は

　　１＋√２

に次第に近づくことになります．また，θの連分数展開は

　　［２，：２，２，２，，・・・］

になります．

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