【２】ファレイ数列とディオファントス近似

　ファレイ数列では相隣り合う２項［ｍ1／ｎ1，ｍ2／ｎ2］の分母と分子からなる行列式の値ｍ1ｎ2−ｍ2ｎ1は±１である．すなわち，交差積ｍ1ｎ2とｍ2ｎ1は連続する整数になる．

　また，フォードの円列では（ｍ1／ｎ1，１／２ｎ1^2）を中心とする半径１／２ｎ1^2の円と（ｍ2／ｎ2，１／２ｎ2^2）を中心とする半径１／２ｎ2^2の円が接することになる．フォードの円列は重なり合うことはなく，この２つの円の間に入る一番大きな円はその中間分数（ｍ1＋ｍ2）／（ｎ1＋ｎ2）の円である．

　フォードの円列において，直線ｙ＝１は∞＝１／０に対応すると解釈しよう．すると，有理数ｐ／ｑに対応するフォードの円は半径１／２ｑ^2で，ｘ軸上の点ｐ／ｑにおいて接する円となる．

　同様に分母が高々ｄの有理数からなる位数ｄのファレイ数列の各項は１／ｄ^2≦ｙ＜１／（ｄ＋１）^2の任意の水平線と交わるフォードの円と対応することになる．

　これにより，いくつかのディオファントス近似に関する定理は，（双曲）幾何学的に自明なものとなる．たとえば，任意の無理数αに対して

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2

を満たすものが無数に存在するという定理がそうである．直線ｘ＝αが連接する２つのフォードの円ｐ／ｑ，ｒ／ｓのどちらか一方に交わる．それがｐ／ｑであるとすると｜α−ｐ／ｑ｜＜１／２ｑ^2が成り立たなければならないからである．

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