【７】アポロニウスのガスケット

　アルキメデスのアルベロス円列は２つずつ接する３つの円に対し，３つの円に接する円を次々に描き加えていくものである．フォードの円列は最初の３つの円のうち１つが直線（半径∞の円）に変わったものである．

　フォードの円列と直線との接点は常に有理数であり，区間［０，１］のすべての有理数はフォードの円列の接点として得られる．たとえば，ｘ^2＋（ｙ−１／２）^2＝（１／２）^2と（ｘ−１）^2＋（ｙ−１／２）^2＝（１／２）^2によって表されるような２円から始めると，ファレイ数列

［０／１，１／１］

→［０／１，１／２，１／１］（２位のファレイ数列）

→［０／１，１／３，１／２，２／３，１／１］（３位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１］（５位のファレイ数列）

→［０／１，１／５，１／４，２／７，１／３，３／８，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，５／８，２／３，５／７，３／４，４／５，１／１］（８位のファレイ数列）

が得られる．（ｎ位のファレイ数列とは分子と分母がｎを超えない既約な正の有理数全体を大きさの順に並べたものである．）

　ファレイ数列では相隣り合う２項［ｍ1／ｎ1，ｍ2／ｎ2］の分母と分子からなる行列式の値ｍ1ｎ2−ｍ2ｎ1は±１である．また，フォードの円列では（ｍ1／ｎ1，１／２ｎ1^2）を中心とする半径１／２ｎ1^2の円と（ｍ2／ｎ2，１／２ｎ2^2）を中心とする半径１／２ｎ2^2の円が接する．

　一般に３つの円に接する４つ目の円を描く問題が「アポロニウスの問題」であり，この操作を無限に繰り返してできる図形をアポロニウスのガスケットという．フォードの円列，アルキメデスのアルベロス円列はアポロニウスのガスケットの特別な場合になっている．

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