【１】カントル集合

［１］単位区間［０，１］を３等分して，中央の区間［１／３，２／３］を取り除く．

［２］残った２つの区間をそれぞれ３等分して中央の区間［１／９，２／９］および［７／９，８／９］を取り除く．

［３］３等分して中央の区間を取り除く操作を無限に繰り返す．

　取り除かれる区間の長さの合計を求めてみよう．

　　１／３＋２・１／９＋４・１／２７＋１６・１／８１＋・・・

は，公比２／３の等比級数であるから

　　１／３＋２・１／９＋４・１／２７＋１６・１／８１＋・・・

→１／３／（１−２／３）＝１

　実際には無限に多くの点が残っているのに，取り除かれる区間の長さに合計は１となって，何も残らないことになる．

　このように，カントル集合は特異な性質をもつ集合の１例である．

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【２】シェルピンスキーのガスケット

カントル集合を生成する手順を平面上にに一般化してみたい．

［１］正三角形を４つの小正三角形に分割して，中央にある小正三角形を取り除く．

［２］残った３つの正三角形をそれぞれ４等分して中央の小正三角形を取り除く．

［３］４等分して中央の小正三角形を取り除く操作を無限に繰り返すと，シェルピンスキーのガスケットが現れる．

　取り除かれる面積の合計を求めてみよう．

　　１／４＋３・１／１６＋９・１／６４＋２７・１／２５６＋・・・

は，公比３／４の等比級数であるから

→１／４／（１−３／４）＝１

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