アリスタルコスは太陽系の大きさを見積もるために歴史上はじめて三角法を使って

ｓｉｎ３°の有理数近似：ｓｉｎ３°〜1/19

を得たといわれている。

たとえば、不等式：1/32＜ｓｉｎ３°＜1/16を得ることはできるだろうか？

ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４は既知とする。

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ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４は既知とする。

sin5θ=16(sinθ)^5-20(sinθ)^3+5sinθ=（√６−√２）／４

4sin5θ=64(sinθ)^5-80(sinθ)^3+20sinθ=（√６−√２）

1/16を代入してみると

64/2^20-80/2^12+20/2^4<>（√６−√２）

2^6/2^20-5・2^4/2^12+5・2^2/2^4<>（√６−√２）

1/2^14-5/2^8+5/2^2<>（√６−√２）

1-5・2^6+5・2^12<>（√６−√２）・2^14

1+5・2^6（2^6-1）＝20161

16384（√６−√２）〜16384・1.035

ｓｉｎ３°＜1/16

1/32を代入してみると

64/2^25-80/2^15+20/2^5<>（√６−√２）

2^6/2^25-5・2^4/2^15+5・2^2/2^5<>（√６−√２）

1/2^19-5/2^11+5/2^3<>（√６−√２）

1-5・2^8+5・2^16<>（√６−√２）・2^19

1+5・2^8（2^8-1）＝326401

524288（√６−√２）〜524288・1.035

ｓｉｎ３°＞1/32

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