シュタイナー円鎖の鎖を構成する円の中心はすべてひとつの楕円上にあるが，その際，任意の位置に始点・終点をとることができる．したがって，楕円は

　　（α＋β）／４

を中心，

　　［（α-1）／２，（1+β）／２］

を長軸=(β-α+2)/2=r+1 とすることがわかるが，問題は短軸である．

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アルベロスの円列の中心は楕円上にあることが知られている。円鎖がうまく閉じるはどうかに関わらず，円鎖を構成する円の中心はすべてひとつの楕円上にある．

したがって、小円の上下左右だけを考えればよい問題であると思われる

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(0,1)に接する円x^2+(y-1+c)^2=c^2が小円にも接する

ピタゴラスの定理より

(1-c)^2+(α＋β)^2/4=(r+c)^2

1-2c+(α＋β)^2/4=r^2+2rc

1+(α＋β)^2/4-r^2=2(r+1)c

c=-(r-1)/2+(α＋β)^2/8(r+1)

楕円は(0,1-c)を通る

1-c=(1+r)/2-(α＋β)^2/8(r+1)=1/2(r+1)・{(1+r)^2-(α＋β)^2/4}

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4(x-(α+β)/4)^2/(r+1)^2+y^2/b^2=1

(α+β)^2/4(r+1)^2+1/4(r+1)^2{(1+r)^2-(α＋β)^2/4}^2/b^2=1

(α+β)^2+{(1+r)^2-(α＋β)^2/4}^2/b^2=4(1+r)^2

{(1+r)^2-(α＋β)^2/4}^2/b^2=4(1+r)^2-(α+β)^2

b^2={(1+r)^2-(α＋β)^2/4}/4

楕円の方程式は

4(x-(α+β)/4)^2/(r+1)^2+4y^2/{(1+r)^2-(α＋β)^2/4}=1

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α、βがわかっていてもdはわからない

d,rがわかればα、βは求めることができる

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