トーラス面

　　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＋ｚ^2＝ｒ0^2

　　ｒ0：パイプの半径，ｒ1：輪の半径

の経線と緯線は円です．もちろん，赤道も円ですが，トーラス面上の与えられた点を通る円は他にも存在するそうです．

　原点を中心とする円ではないので気づきにくいのですが，原点を通り，ｘｙ平面となす角度が

　　ｓｉｎα＝ｒ0／ｒ1

の平面による切り口も円（ヴィラソーの円）になります．この平面はドーナツ面の内側をかすめるように通ります．

原点と与えられた点を通る平面トーラスに接するところまで傾けると、こ切り口が円になるのです。平面に傾け方は２通りあるので、新たに２つの円が得られたことになります。

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　　ｃｏｓ^2θ＝（ｒ1^2−ｒ0^2）／ｒ1^2

　　（Ｘ^2＋Ｙ^2）^2−２（ｒ1^2−ｒ0^2）Ｘ^2−２（ｒ1^2＋ｒ0^2）Ｙ^2＋（ｒ1^2−ｒ0^2）^2＝０

となる．

　これを整理すると

　　（Ｘ^2−ｒ1^2）^2＋２（Ｙ^2＋ｒ0^2）（Ｘ^2−ｒ1^2）＋（Ｙ^2＋ｒ0^2）^2＝０

　　｛（Ｘ^2−ｒ1^2）＋（Ｙ＋ｒ0）^2｝｛（Ｘ^2−ｒ1^2）＋（Ｙ−ｒ0）^2｝＝０

　これより，２円

　　Ｘ^2＋（Ｙ＋ｒ0）^2＝ｒ1^2

　　Ｘ^2＋（Ｙ−ｒ0）^2＝ｒ1^2

が得られる．これらは（０，±ｒ0）を中心とする半径ｒ1の双子の円である．

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［結論］

　トーラスを原点を通る平面で切断する．傾き０のとき赤道（円），傾き∞のとき経線（２つに分かれたペアの円），傾きｓｉｎα＝ｒ0／ｒ1のとき，双子の円（ヴィラソーの円），これらの間は４次曲線になる．

　カッシーニ(1625-1712)は偉大な天文学者であったが，ヴィラソー(1813-1883)も１９世紀の天文学者．

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