任意の４つの整数の巡回的に符号を無視した（差の絶対値の）階差数列をとる．たとえば，

　　２，５，７，１３

に対して，２と１３は隣り合うものとして・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

第１階差　３，２，６，１１

第２階差　１，４，５，８

第３階差　３，１，３，７

第４階差　２，２，４，４

第５階差　０，２，０，２

第６階差　２，２，２，２

第７階差　０，０，０，０

　ドゥッチは，どのような４数から始めたとしても，有限解の繰り返しで必ず（０，０，０，０）に達することを発見した（１９３７年）．その繰り返しの回数に上限はない．

　この操作を３数，たとえば（０，１，１）に対して適用すると，

第１階差　１，０，１

第２階差　１，１，０

第３階差　０，１，１

と循環的になり決して（０，０，０）にはならない．

　４数に限らず，項数が２のベキならばどのような２^n数から始めたとしても，有限解の繰り返しで必ず０に達するのである．

　［参］チャンバーランド「ひとけたの数に魅せられて」岩波書店

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】トリボナッチ数に対するドゥッチ操作

tn=tn-1+tn-2+tn-3, t0=1,t1=1,t2=2

は、1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,・・・と続く。

(274,149,81,44)から始めると

第１階差　(230,125,68,37)

第２階差　(193,105,57,31)

第３階差　(162,88,48,26)=2(81,44,24,13)

第４階差　(136,74,40,22)

第５階差　(114,62,34,18)

第６階差　(96,52,28,16)=4(24,13,7,4)

第７階差　(80,44,24,12)

第８階差　(68,36,20,12)

第９階差　(56,32,16,8)=8(7,4,2,1)

この操作を3回繰り返すたびに(tn,tn-1,tn-2,tn-3)→2(tn-2,tn-3,tn-4,tn-5)になる。

美しい構造が見えてきただろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝