ラマヌジャンが示した

　　ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3±１

のパラメータ解が正しいことが確認された．

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【１】ラマヌジャン解

　３つの数列｛ａn｝，｛ｂn｝，｛ｃn｝の母関数を以下のように定義する．

　　Σａnｘ^n＝（１＋５３ｘ＋９ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　　Σｂnｘ^n＝（２−２６ｘ−１２ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　　Σｃnｘ^n＝（２＋８ｘ−１０ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　すると

ｎ　　　　　　ａn 　　　　　　　ｂn 　　　　　　　ｃn

０　　　　　　　１　　　　　　　２　　　　　　　　２

１　　　　　１３５　　　　　１３８　　　　　　１７２

２　　　１１１６１　　　１１４６８　　　　１４２５８

３　　９２６２７１　　９５１６９０　　１１８３２５８

のようになりますが，このとき

　　ａn^3＋ｂn^3＝ｃn^3＋（−１）^n

がすべてのｎ＝０，１，２，３，・・・に対して成り立つ．

しかし、どうすればそんなことに気づくことができたのだろうか？

ラマヌジャンが如何にして3つの数列を結びつけることができたかは知る由もないが、長い間、数について研究し、様々な関連性を熟知していなければできないことだろう。才能・熱烈な好奇心・集中力のおかげでラマヌジャンは数の達人になることができたのである。

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【２】もうひとつのラマヌジャン級数

［１］ラマヌジャン級数

　１／π＝２√２／９９^2Σ（４ｋ）！（１１０３＋２６３９０ｋ）／（３９６）^4k（ｋ！）^4

は不思議な式です．中央四項係数（４ｋ）！／（ｋ！）^4が登場している．右辺のΣ以降はともかくとして，ｋ＝０としても

　　２π√２＝９９^2／１１０３

は８桁正しい値を与える．これだけでも，私にはその意味を見抜くことができません．収束は早いのですが，長い間，証明されなかった理由がそこにあります．

ラマヌジャンのノートには類似の公式が１７個も書き綴ってあったそうである．その中からひとつだけ紹介すると

　　１／π＝Σ（２ｎCｎ）^3（４２ｎ＋５）／（２^12n+4）

ここにも，中央二項係数（２ｎCｎ）が出現している．

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