（例１）１辺の長さが１の正方形：面積１

（例２）長方形の場合

　　長辺の長さを√２の長方形を考えると，短辺の長さは√２／２：面積１

　　長辺の長さを２の長方形を考えると，短辺の長さは√２−１：面積２（√２−１）

　　長辺の長さを２√２の長方形を考えると，短辺の長さは０：面積０

　長方形の面積は１を超えることができないのである．

（例３）三角形の場合

　　直角二等辺三角形（斜辺の長さ２）：面積１

（例４）半円の場合

　　半円（直径の長さ２）：面積π／２＞１

　ここで，一気に面積が５７％も増えた．

（例５）ハマースレー型ソファ（１×Ｌの長方形の両端に半径１の四分円をつけ加え，直径Ｌの半円を削り取った形）

　　Ｓ＝２（Ｌ／２）−π／２（Ｌ／２）^2＋π／２を最大とするＬは

　　Ｌ＝４／π

　　面積はπ／２＋２／π＝２．２０７４，すなわち，２倍（１２０％）を超える．

（例６）ガーバー型ソファ（半円の端を少し削れば，四分円のところを削った以上に膨らませることができる）．

　直線，円弧，円のインボリュート，そのインボリュートからなる区分的組み合わせで，面積は２．２１９５，すなわち，ハマースレー型ソファを０．５％改善している．

　ガーバー型ソファは局所的に最適であって，現在知られている最大のソファである．最大であると信じられているが，証明はされていない．本当に最大であるかどうかは未解決なのである．

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　直角の曲がり角を通すことのできる最大直径は２＋２√２

　最大面積はπ｛（２＋２√２）／２｝^2＝π（３＋２√２）ではなく，２√２

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