細矢治夫先生によると

三角形の各頂点からその対辺を1:3:1に内分した点を全部、合計6本の線分で結ぶ。

そのときにできる交点は6C2=15あるが、3頂点を除いた12点で星形6角形ができる。

元の三角形は小三角形、小四角形、小五角形、小六角形に分割される。中央にある小六角形の3頂点を線で結ぶと正立の三角形と、倒立の三角形を2個描くことができる。

これらはもとの三角形と相似で、正立の三角形は元の三角形の1/2縮尺、倒立の三角形は1/3縮尺になっているそうだ。

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［Ｑ］各頂点からその対辺を1:3:1に内分した点を全部、合計6本の線で結ぶ。元の三角形は小三角形、小四角形、小五角形、小六角形に分割される。中央にある小六角形の面積は，もとの三角形の面積の何分の１だろうか？

小生の計算によると小六角形は元の三角形の面積の1/7となったが、その信頼率はいかに？

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三角形の分割を1:n:1とした場合の重心座標による計算を、一松信先生にご教示していただいた。

結論を先にいうと、1:3:1のときは、1/7でなくて、1/3になります。

重心座標による直線の方程式

AD:y=(n+1)z,AE:z=(n+1)y

BF:z=(n+1)x,BG:x=(n+1)z

CH:x=(n+1)y,CJ:y=(n+1)x

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直線の方程式はux+vy+wz=0と表すことができる

AD;

A(1,0,0),D(0,1,n+1) を通る

u=0

v+w(n+1)=0

w=1とおくとv＝-(n+1)→y=(n+1)z

AE

A(1,0,0),E(0,n+1,1) を通る

u=0

v(n+1)+w=0

　v=1とおくとW＝-(n+1)→z=(n+1)y

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点の（正規化しない）重心座標

K(1,n+1,n+1),L(1,1,n+1)

M(n+1,1,n+1),N(n+1,1,1)

P(n+1,n+1,1),Q(1,n+1,1)

ANK,BQN,CLPは中線になり重心で交わるから

K(1/2,(n+1)/2,(n+1)/2),L(1/2,1/2,(n+1)/2)

M((n+1)/2,1/2,(n+1)/2),N((n+1)/2,1/2,1/2)

P((n+1)/2,(n+1)/2,1/2),Q(1/2,(n+1)/2,1/2)

同次座標であるから

K(1,n+1,n+1),L(1,1,n+1)

M(n+1,1,n+1),N(n+1,1,1)

P(n+1,n+1,1),Q(1,n+1,1)

としても同じ

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以下の面積はすべてもとの△ABCの面積を1とした値

ANK,BQM,CLPは中線になり、重心Oで交わる

△KPM（倒立）=1/(2n+3)^2|1,n+1,n+1|=(2n+3)n^2/(2n+3)^3=n^2/(2n+3)

|n+1,1,n+1|

|n+1,n+1,1|

正規化した重心座標を用いている

△MNP=1/(2n+3)(n+3)^2|n+1,1,n+1|=(n+1)n^2/(2n+3)^2(n+3)

|n+1,1, 1|

|n+1,n+1,1|

正規化した重心座標を用いている

六角形=n^2/(2n+3)^2+3(n+1)n^2/(2n+3)^2(n+3)=2n^2/(2n+3)(n+3)

以下は検算

△LNQ（正立）=1/(n+3)^2|1,1,n+1|=(n+3)n^2/(n+3)^3=n^2/(n+3)^2

|n+1,1,1|

|1,n+1,1|

△KLQ=1/(2n+3)(n+3)^2|1,n+1,n+1|=n^2/(2n+3)(n+3)^2

|1, 1,n+1|

|1,n+1, 1|

六角形=n^2/(n+3)^2+3n^2/(n+3)^2(2n+3)=2n^2/(2n+3)(n+3)

n=1→1/10

n=3→1/3

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