【１】正方形の完全正方分割

　「縦がａ，横がｂの長方形Ｋを縦横比が有理数であるような有限個の長方形に分割することができるならばａ，ｂの比は有理数であることが必要十分条件である．」（デーンの定理，１９０３年）

　分割された小長方形は，縦横比が有理数という条件が付いているだけで，それぞれの長さは無理数でもかなわないのですが，分割の際，小長方形の配置は多様にありうるわけですから，この定理はまったく自明な定理とはいえません．しかし，この定理によって四角形の辺の長さは自然数で表せることになりますから「方積問題」が初めて大きく進展することになりました．

　方積問題を拡張した「長方形の正方分割」については，１９２５年，モロンによって３３×３２の長方形を９枚の正方形

（１，４，７，８，９，１０，１４，１５，１８）で，６５×４７の長方形を１０枚の正方形

（３，５，６，１１，１７，１９，２２，２３，２４，２５）で敷き詰めました．

　また，１９３９年，スプレーグが５５枚の正方形で正方形（１辺４２０５）を敷き詰める例を見つだしました．しかし，この例では５５枚の異なる正方形が使われたのですが，内部に正方形を敷き詰めた長方形部分が含まれているため「純粋配置」ではありませんでした．

　ブルックスが１１２×７５の長方形を１３枚の正方形を使い，２通りに敷き詰める配置を発見したことがきっかけとなって，１９４０年，ケンブリッジ大学の４人の学生ブルックス，スミス，ストーン，タットは正方形に正方形を敷き詰める系統だった手法を確立させ，ルジンの予想を覆しました．

　その方法（スミス・ネットワーク）はデーンの定理を電気回路とみなしてキルヒホッフの法則とオームの法則に帰着させて鮮やかに証明したものでした．この方法を用いて，ブルックスは正方形に６９枚の正方形を敷き詰める配置を発表し，さらに検討を加えて正方形の数を２６枚（１辺６０８）に減らしました．

　１９５１年，ウィルコックスは位数２４，１辺１７５のものを発見しました．これもその中に完全長方形が含まれていましたが，それでもこれ以上位数の少ない完全正方形は存在しないだろうと予想されていました．

　１９６２年，デゥイヴェスチジンは正方形に正方形を敷き詰めるのに少なくても２１枚の正方形が必要なことを証明し，１９７８年までに

　　５０，２９，３３，２５，４，３７，３５，１５，９，１６，２，７，１７，１８，４２，１１，６，２７，８，２４，１９

の２１個の正方形からなる単純（分断線ができないこと）かつ完全（分割を構成する正方形がすべて異なる大きさであること）な正方形分割が最小かつ唯一（他には存在しない）のものであることを証明しました．

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【２】拡張した方積問題

　こうして方積問題解決されたのですが，類似の問題，たとえば円筒やメビウスの帯，トーラス，クラインの壷，射影平面に正方形を敷き詰める問題も存在します．メビウスの帯では１９９３年，チャップマンにより発見された５枚の正方形を使う配置が最小のものであるとのことですが，射影平面に正方形を敷き詰める問題になると実質的に何もわかっていない状態だそうです．

　また，正方形の完全正方分割ができたとなると，正三角形の完全正三角分割と立方体の完全立方分割も考えてみたくなりますが，不可能であることが証明されているようです．

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